3.3 Taille de l’arbre en régimes critique et sous-critique
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(théorème 3.3) qui converge car m > 1. Par conséquent, (Y n ) n0 converge
p.s. et dans L
2 vers une v.a.r. Y ∞ dont les deux premiers moments sont la
limite de ceux de Y n . Il est possible de procéder directement sans faire appel à
un théorème de martingales, grâce au fait que la convergence L
2 est ici assez
rapide. En effet, par le théorème 3.3 on obtient, pour tout n, k 0,
E((Y n+k − Y n )
2 ) =
σ
2
m n
1 − m
−k
m 2 − m
.
Comme m > 1, ceci montre que (Y n ) n0 est une suite de Cauchy dans L
2 .
Comme L
2 est complet, elle converge vers une v.a.r. Y ∞ ∈ L
2 . La série
∞
n=0 E((Y n − Y ∞ )
2 ) converge également grâce à la borne géométrique en
m
−n sur E((Y ∞ − Y n )
2 ) obtenue en faisant k → ∞. Par convergence monotone, on obtient E(
∞
n=0 (Y n − Y ∞ )
2 ) < ∞ et donc (Y n ) n0 converge p.s. vers
Y ∞ . Les deux premiers moments de Y ∞ s’obtiennent facilement.
On a L
∞ (0) = −E(Y ∞ ) = −1. De plus, la transformée de Laplace t ∈
R + → L n (t) = E(e
−tYn ) de Y n vérifie pour tout n 0
L n+1 (mt) = g n+1 (e
−
mt
m n+1 ) = g(g n (e
−
t
m n )) = g(L n (t)),
d’où lim n→∞ L ∞ (mt) = g(L ∞ (t)) car L ∞ = lim n→∞ L n et g est continue.
3.3 Taille de l’arbre en régimes critique et sous-critique
Le théorème 3.3 fournit la moyenne de la population totale au temps n :
E(Z 0 + · · · + Z n ) =
1 − m
n+1
1 − m
1 m =1 + (n + 1)1 m=1 .
On peut obtenir une formule similaire pour la variance (exercice !). On se place
dans cette section en régime critique ou sous-critique m 훁 1. Nous savons que
la population s’éteint presque sûrement, et la population totale (ou taille de
l’arbre) est donc donnée par
N = lim
n→∞
Z 0 + · · · + Z n (= Z 0 + · · · + Z T −1 ),
d’où, par convergence monotone,
E(N ) =
⎧
⎨
⎩
1
1 − m
si m < 1,
∞
si m = 1.
Comme Z n 1 si n < T il vient T Z 0 + · · · + Z T −1 = N d’où l’inégalité
E(T ) E(N ) = 1/(m − 1). Dans le cas critique, la population totale N est
finie p.s. mais n’est pas intégrable.