3.2 Étude des trois cas possibles
47
Démonstration. On a
nP(Z n > 0) = n(1 − g n (0)) =
1
n
1
1 − g n (0)
− 1
+
1
n
−1
.
La formule de Taylor avec reste intégral en 1 à l’ordre 2 donne
g(s) = s +
1
2
(1 − s)
2 σ
2 + (1 − s)
2 α(s)
avec α bornée sur [0, 1] et lim s→1 α(s) = 0. Il en découle que
1
1 − g(s)
−
1
1 − s
=
g(s) − s
(1 − g(s))(1 − s)
=
1
2 σ
2 + α(s)
1 −
1
2 (1 − s)σ 2 − (1 − s)α(s)
=
σ
2
2
+ β(s)
où β est comme α. Comme (g k ) k1 converge uniformément vers 1, il vient
lim
n→∞
1
n
1
1 − g n (s)
−
1
1 − s
= lim
n→∞
1
n
n−1
k=0
1
1 − g(g k (s))
−
1
1 − g k (s)
=
σ
2
2
uniformément pour tout s ∈ [0, 1[. De même, comme Z n 1 {Zn>0} = Z n , on a
E(n
−1 Z n | Z n > 0) =
E(Z n 1 {Zn>0} )
nP(Z n > 0)
=
E(Z n )
n(1 − g n (0))
→
σ
2
2
.
Toujours de la même manière, on a pour tout t ∈ R
∗
+ , en notant s n = e
−t/n ,
E(e
−t
1
n Zn
| Z n > 0) =
E(s
Zn
n 1 {Zn>0} )
P(Z n > 0)
=
g n (s n ) − g n (0)
1 − g n (0)
= 1 −
1 − g n (s n )
1 − g n (0)
que l’on peut encore écrire
1 −
1
n(1 − g n (0))
1
n
1
1 − g n (s n )
−
1
1 − s n
+
1
n(1 − s n )
−1
On obtient donc
E(e
−t
1
n Zn
| Z n > 0) → 1 −
σ
2
2
σ
2
2
+
1
t
−1
=
1
1 +
σ 2
2 t
=
2
σ 2
∞
0
e
−tx e
−
2
σ 2 x dx.