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3 Branchement et processus de Galton-Watson
Par conséquent, la suite positive (1 − h n (s)) n1 est croissante, et comme elle
est majorée par 1, elle converge vers une limite 1 − h(s). On a
1 − h n (g(s)) =
1 − g n+1 (0)
1 − g n (0)
1 − g n+1 (s)
1 − g n+1 (0)
.
Comme g n (0) P(T < ∞) = 1 on en déduit que
1 − g n+1 (0)
1 − g n (0)
=
g(1) − g(g n (0))
g(1) − g n (0)
→ g
(1) = m.
Donc (1−h)◦g = m(1−h) sur [0, 1[ et donc sur [0, 1]. Reste à établir que h est la
fonction génératrice d’une loi μ sur N
∗ et que (μ n ) n1 converge (étroitement)
vers μ. Comme (h n ) n1 converge ponctuellement sur [0, 1[ vers h, il est bien
classique d’établir que μ n (z) converge vers une limite μ(z) ∈ [0, 1] pour tout
z ∈ N
∗ , dont la fonction génératrice est égale à h sur [0, 1[. Le fait que la
sous-probabilité μ est une loi de probabilité peut se déduire de l’équation
fonctionnelle vérifiée par h en considérant la limite en 1.
Cas critique
Si m = 1 alors P(T < ∞) = 1 et Z n = Z n∧T → Z T = 0 p.s. (théorème
3.7) et E(Z n ) = 1 et Var(Z n ) → ∞ si σ
2 < ∞ (théorème 3.3). La «largeur»
de l’arbre sup n0 Z n n’est pas intégrable car cela entraînerait par convergence
dominée que 1 = lim n→∞ E(Z n ) = E(lim n→∞ Z n ) = 0 ce qui est absurde. Les
arbres critiques sont donc souvent très larges mais leur profondeur est finie
p.s. : une folie des grandeurs passagère rattrapée irrémédiablement par un
manque de fertilité. Le cas est critique ! Notons par ailleurs que si m = 1 alors
(Z n ) n0 = (Y n ) n0 et on retrouve au passage que Y ∞ = 0 p.s.
Théorème 3.12 (Cas critique). Si m = 1 et σ
2 < ∞ alors
1. lim n→∞ nP(Z n > 0) = 2σ
−2
2. lim n→∞
1
n E(Z n | Z n > 0) =
1
2 σ
2
3. Loi(n
−1 Z n | Z n > 0) converge quand n → ∞ vers la loi Exp(2σ
−2 ).
Le 2. n’est pas une conséquence directe du 3. car la convergence en loi
n’entraîne pas la convergence des moments, en particulier n’entraîne pas la
convergence des espérances. Un contre-exemple est fourni par (Z n ) n1 qui
converge p.s. vers 0 donc en loi vers δ 0 mais 1 = E(Z n ) ne converge pas
vers la moyenne de δ 0 qui est 0. Le théorème affirme cependant qu’il y a
convergence de l’espérance de n
−1 Z n vers l’espérance 2σ
−2 de la limite en loi
de n
−1 Z n . La convergence en distance de Wasserstein d’ordre p est équivalente
à la convergence en loi ainsi que la convergence des moments jusqu’à l’ordre
p. La convergence des moments joue un rôle important dans la preuve du
théorème de Wigner du chapitre 21.
3 Branchement et processus de Galton-Watson
Par conséquent, la suite positive (1 − h n (s)) n1 est croissante, et comme elle
est majorée par 1, elle converge vers une limite 1 − h(s). On a
1 − h n (g(s)) =
1 − g n+1 (0)
1 − g n (0)
1 − g n+1 (s)
1 − g n+1 (0)
.
Comme g n (0) P(T < ∞) = 1 on en déduit que
1 − g n+1 (0)
1 − g n (0)
=
g(1) − g(g n (0))
g(1) − g n (0)
→ g
(1) = m.
Donc (1−h)◦g = m(1−h) sur [0, 1[ et donc sur [0, 1]. Reste à établir que h est la
fonction génératrice d’une loi μ sur N
∗ et que (μ n ) n1 converge (étroitement)
vers μ. Comme (h n ) n1 converge ponctuellement sur [0, 1[ vers h, il est bien
classique d’établir que μ n (z) converge vers une limite μ(z) ∈ [0, 1] pour tout
z ∈ N
∗ , dont la fonction génératrice est égale à h sur [0, 1[. Le fait que la
sous-probabilité μ est une loi de probabilité peut se déduire de l’équation
fonctionnelle vérifiée par h en considérant la limite en 1.
Cas critique
Si m = 1 alors P(T < ∞) = 1 et Z n = Z n∧T → Z T = 0 p.s. (théorème
3.7) et E(Z n ) = 1 et Var(Z n ) → ∞ si σ
2 < ∞ (théorème 3.3). La «largeur»
de l’arbre sup n0 Z n n’est pas intégrable car cela entraînerait par convergence
dominée que 1 = lim n→∞ E(Z n ) = E(lim n→∞ Z n ) = 0 ce qui est absurde. Les
arbres critiques sont donc souvent très larges mais leur profondeur est finie
p.s. : une folie des grandeurs passagère rattrapée irrémédiablement par un
manque de fertilité. Le cas est critique ! Notons par ailleurs que si m = 1 alors
(Z n ) n0 = (Y n ) n0 et on retrouve au passage que Y ∞ = 0 p.s.
Théorème 3.12 (Cas critique). Si m = 1 et σ
2 < ∞ alors
1. lim n→∞ nP(Z n > 0) = 2σ
−2
2. lim n→∞
1
n E(Z n | Z n > 0) =
1
2 σ
2
3. Loi(n
−1 Z n | Z n > 0) converge quand n → ∞ vers la loi Exp(2σ
−2 ).
Le 2. n’est pas une conséquence directe du 3. car la convergence en loi
n’entraîne pas la convergence des moments, en particulier n’entraîne pas la
convergence des espérances. Un contre-exemple est fourni par (Z n ) n1 qui
converge p.s. vers 0 donc en loi vers δ 0 mais 1 = E(Z n ) ne converge pas
vers la moyenne de δ 0 qui est 0. Le théorème affirme cependant qu’il y a
convergence de l’espérance de n
−1 Z n vers l’espérance 2σ
−2 de la limite en loi
de n
−1 Z n . La convergence en distance de Wasserstein d’ordre p est équivalente
à la convergence en loi ainsi que la convergence des moments jusqu’à l’ordre
p. La convergence des moments joue un rôle important dans la preuve du
théorème de Wigner du chapitre 21.