3.2 Étude des trois cas possibles
45
car Z n 1 si n < T , et par conséquent
1 = E(Y 0 ) = E(Y n ) m
−n
P(T = ∞),
d’où P(T < ∞) = 1. Lorsque m = 1, on a Z n = Y n → Y ∞ < ∞ p.s. d’où
Z n → ∞ p.s. d’où P(T < ∞) = 1 (théorème 3.6). Supposons à présent que
m > 1, et notons s le plus petit point fixe de g. La suite
(s
Zn ) n0
est une martingale à valeurs dans [0, 1]. Comme Z n → ∞ p.s. sur {T = ∞}
(théorème 3.6) et Z n = 0 si n T , et comme 0 < s < 1, il vient
s
Zn = s
Zn
1 {T =∞} + s
Zn
1 {T <∞}
p.s.
−→
n→∞
1 {T <∞} .
Par convergence dominée on obtient s = E(s
Z0 ) = E(s
Zn ) → P(T < ∞).
3.2 Étude des trois cas possibles
Cas sous-critique
Si m < 1 alors P(T < ∞) = 1 et Z n = Z n∧T → Z T = 0 p.s. (théorème
3.7) et E(Z n ) = m
n
→ 0 et Var(Z n ) → 0 si σ
2 < ∞ (théorème 3.3).
Théorème 3.11 (de Yaglom). Si m < 1 alors Loi(Z n | Z n > 0) converge
lorsque n → ∞ vers une loi μ sur N
∗ dont la fonction génératrice h vérifie
(h − 1) ◦ g = m(h − 1).
Démonstration. Soit h n la fonction génératrice de μ n := Loi(Z n | Z n > 0). La
suite (h n (1)) n1 est constante et égale à 1 et converge donc vers h(1) := 1.
Pour tout s ∈ [0, 1[, on a
1 − h n (s) = 1 −
E(s
Zn
1 {Zn>0} )
P(Z n > 0)
= 1 −
E(s
Zn ) − P(Z n = 0)
P(Z n > 0)
=
1 − g n (s)
1 − g n (0)
car P(Z n > 0) = 1 − P(Z n = 0) = 1 − g n (0). On rappelle que g n+1 = g ◦ g n ,
et que g n (s) → 1 et g n (0) → 1 quand n → ∞ car 1 est l’unique point fixe de
g car m < 1 (théorème 3.7). Comme les fonctions g n et
s → r(s) :=
1 − g(s)
1 − s
sont croissantes sur [0, 1[, on a
1 − h n+1 (s)
1 − h n (s)
=
1 − g n+1 (s)
1 − g n (s)
1 − g n (0)
1 − g n+1 (0)
=
r(g n (s))
r(g n (0))
1.