3.1 Extinction et phénomène de seuil
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Le théorème 3.6 suggère d’étudier la probabilité d’extinction P(T < ∞).
Théorème 3.7 (Probabilité d’extinction du processus). La probabilité d’extinction P(T < ∞) est point fixe de g. Si m 1 alors g possède un unique
point fixe, égal à 1, et P(T < ∞) = 1. Si m > 1 alors g possède deux points
fixes, s ∈ ]0, 1[ (attractif) et 1 (répulsif) et P(T < ∞) = s.
Démonstration. Comme Z n est entière, on a
{T < ∞} = { lim
n→∞
Z n = 0} = ∪ n0 {Z n = 0}.
La suite ({Z n = 0}) n0 est croissante et la probabilité d’extinction vérifie
P(T < ∞) = P( lim
n→∞
Z n = 0) = P(∪ n0 {Z n = 0}) = lim
n→∞
P(Z n = 0).
Or du théorème 3.4 on tire P(Z n = 0) = g n (0) = g
◦n (0) et donc
P(T < ∞) = lim
n→∞
g n (0) = lim
n→∞
g
◦n (0).
La probabilité d’extinction ρ := P(T < ∞) = lim n→∞ g
◦n (0) vérifie g(ρ) = ρ
car g : [0, 1] → [0, 1] est continue. La fonction g est convexe car
g
𨐾𨐾 (s) =
∞
z=0
(z + 2)(z + 1)s
z p z+2 .
Comme p 0 + p 1 < 1, la fonction g est en fait strictement convexe (elle est
affine lorsque p 0 + p 1 = 1). D’autre part, g(0) = p 0 ∈ ]0, 1[ et g(1) = 1. Par
conséquent, si g
(1
− ) = m 1 alors le graphe de g est au-dessus de la première
bissectrice et 1 est le seul point fixe. Si g
(1
− ) = m > 1 alors le graphe de g
traverse une et une seule fois la première bissectrice sur l’intervalle ]0, 1[ et
g admet un second point fixe s ∈ ]0, 1[. Reste à observer que si m > 1 alors
g
(1
− ) = m > 1 et donc 1 n’est pas un point fixe attractif. La figure 3.1
illustre des cas particuliers tirés des exemples 3.8 et 3.9.
Exemple 3.8 (Reproduction poissonnienne). Si P = Poi(λ) alors m = λ et
g(s) = e
λ(s−1) et donc si λ 1 alors la population s’éteint presque sûrement
tandis que si λ > 1 alors la probabilité d’extinction s est l’unique solution sur
]0, 1[ de l’équation λ = log(s)/(s − 1).
Exemple 3.9 (Reproduction géométrique). Si P = Geo N (p) =
n0 q
n pδ n
alors m = q/p et g(s) = p/(1 − sq) et donc si p 1/2 alors la population
s’éteint presque sûrement tandis que si p < 1/2 alors la probabilité d’extinction
s est l’unique solution sur ]0, 1[ de l’équation qs
2
− s + p = 0. Un petit calcul
fort agréable donne s = p/q.
On a donc la classification suivante d’après le théorème 3.7 :
— sous-critique (m < 1) : la population s’éteint presque sûrement ;
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Le théorème 3.6 suggère d’étudier la probabilité d’extinction P(T < ∞).
Théorème 3.7 (Probabilité d’extinction du processus). La probabilité d’extinction P(T < ∞) est point fixe de g. Si m 1 alors g possède un unique
point fixe, égal à 1, et P(T < ∞) = 1. Si m > 1 alors g possède deux points
fixes, s ∈ ]0, 1[ (attractif) et 1 (répulsif) et P(T < ∞) = s.
Démonstration. Comme Z n est entière, on a
{T < ∞} = { lim
n→∞
Z n = 0} = ∪ n0 {Z n = 0}.
La suite ({Z n = 0}) n0 est croissante et la probabilité d’extinction vérifie
P(T < ∞) = P( lim
n→∞
Z n = 0) = P(∪ n0 {Z n = 0}) = lim
n→∞
P(Z n = 0).
Or du théorème 3.4 on tire P(Z n = 0) = g n (0) = g
◦n (0) et donc
P(T < ∞) = lim
n→∞
g n (0) = lim
n→∞
g
◦n (0).
La probabilité d’extinction ρ := P(T < ∞) = lim n→∞ g
◦n (0) vérifie g(ρ) = ρ
car g : [0, 1] → [0, 1] est continue. La fonction g est convexe car
g
𨐾𨐾 (s) =
∞
z=0
(z + 2)(z + 1)s
z p z+2 .
Comme p 0 + p 1 < 1, la fonction g est en fait strictement convexe (elle est
affine lorsque p 0 + p 1 = 1). D’autre part, g(0) = p 0 ∈ ]0, 1[ et g(1) = 1. Par
conséquent, si g
(1
− ) = m 1 alors le graphe de g est au-dessus de la première
bissectrice et 1 est le seul point fixe. Si g
(1
− ) = m > 1 alors le graphe de g
traverse une et une seule fois la première bissectrice sur l’intervalle ]0, 1[ et
g admet un second point fixe s ∈ ]0, 1[. Reste à observer que si m > 1 alors
g
(1
− ) = m > 1 et donc 1 n’est pas un point fixe attractif. La figure 3.1
illustre des cas particuliers tirés des exemples 3.8 et 3.9.
Exemple 3.8 (Reproduction poissonnienne). Si P = Poi(λ) alors m = λ et
g(s) = e
λ(s−1) et donc si λ 1 alors la population s’éteint presque sûrement
tandis que si λ > 1 alors la probabilité d’extinction s est l’unique solution sur
]0, 1[ de l’équation λ = log(s)/(s − 1).
Exemple 3.9 (Reproduction géométrique). Si P = Geo N (p) =
n0 q
n pδ n
alors m = q/p et g(s) = p/(1 − sq) et donc si p 1/2 alors la population
s’éteint presque sûrement tandis que si p < 1/2 alors la probabilité d’extinction
s est l’unique solution sur ]0, 1[ de l’équation qs
2
− s + p = 0. Un petit calcul
fort agréable donne s = p/q.
On a donc la classification suivante d’après le théorème 3.7 :
— sous-critique (m < 1) : la population s’éteint presque sûrement ;