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3 Branchement et processus de Galton-Watson
Démonstration. On a g 1 = g car Z 0 = 1. Pour tout n 1 et tout s ∈ [0, 1],
g n+1 (s) = E(s
Zn+1 ) = E(E(s
Zn+1
|Z n ))
= E((E(s
X1,1 ))
Zn ) = E(g(s)
Zn ) = g n (g(s)).
Remarque 3.5 (Liens entre Galton-Watson et Wright-Fisher). Considérons
le cas où la loi de reproduction P est une loi de Poisson Poi(λ). Pour tout
entier N 1 fixé, la loi de (X 1,1 , . . . , X 1,N ) sachant que X 1,1 +· · ·+X 1,N = N
est la loi multinomiale Mul(N, (1/N, . . . , 1/N )). En effet, pour (k 1 , . . . , k N )
dans N
N tels que k 1 + · · · + k N = N , la probabilité
P(X 1,1 = k 1 , . . . , X 1,N = k N |X 1,1 + · · · + X 1,N = N )
est égale à (puisque X 1,1 + . . . + X 1,N suit la loi de Poisson de paramètre λN )
P(X 1,1 = k 1 , . . . , X 1,N = k N )
P(X 1,1 + · · · + X 1,N = N )
=
N !
k 1 ! . . . k N !
.
Ainsi, le modèle de Wright-Fisher du chapitre 12 est lié au modèle de GaltonWatson de loi de reproduction Poisson conditionné à être de taille constante
(remarque 13.1). Le processus de Galton-Watson décrit l’évolution de la taille
de la population, et ne dit rien à l’échelle individuelle. Réciproquement, si
(Y 1 , . . . , Y N ) suit la loi multinomiale Mul(N, (1/N, . . . , 1/N )) alors pour tout
k 1 fixé, (Y 1 , . . . , Y k ) converge en loi quand N → ∞ vers la loi produit
Poi(1)
⊗k , ce qui indique que les individus dans un processus de Wright-Fisher
de grande taille ont tendance à faire des enfants de manière poissonnienne et
indépendante les uns des autres.
Théorème 3.6 (Dichotomie). Presque sûrement, soit le processus s’éteint :
lim
n→∞
Z n = 0
soit il tend vers l’infini (explosion) :
lim
n→∞
Z n = ∞.
Autrement dit, presque sûrement
lim
n→∞
Z n =
∞ si T = ∞;
0
si T < ∞.
Démonstration. Comme p 0 > 0, on a P(z, 0) = p
z
0 > 0 pour tout z ∈ N
∗ ,
et comme 0 est absorbant, on en déduit que tout z ∈ N
∗ est transitoire. Or
presque sûrement, la chaîne ne visite qu’un nombre fini de fois chaque état
transitoire, et donc presque sûrement, soit la chaîne est capturée par l’état
absorbant 0 soit elle diverge vers l’infini. Autrement dit, p.s. le processus finit
par sortir, en temps suffisamment grand, de tout intervalle fini de N
∗ .
3 Branchement et processus de Galton-Watson
Démonstration. On a g 1 = g car Z 0 = 1. Pour tout n 1 et tout s ∈ [0, 1],
g n+1 (s) = E(s
Zn+1 ) = E(E(s
Zn+1
|Z n ))
= E((E(s
X1,1 ))
Zn ) = E(g(s)
Zn ) = g n (g(s)).
Remarque 3.5 (Liens entre Galton-Watson et Wright-Fisher). Considérons
le cas où la loi de reproduction P est une loi de Poisson Poi(λ). Pour tout
entier N 1 fixé, la loi de (X 1,1 , . . . , X 1,N ) sachant que X 1,1 +· · ·+X 1,N = N
est la loi multinomiale Mul(N, (1/N, . . . , 1/N )). En effet, pour (k 1 , . . . , k N )
dans N
N tels que k 1 + · · · + k N = N , la probabilité
P(X 1,1 = k 1 , . . . , X 1,N = k N |X 1,1 + · · · + X 1,N = N )
est égale à (puisque X 1,1 + . . . + X 1,N suit la loi de Poisson de paramètre λN )
P(X 1,1 = k 1 , . . . , X 1,N = k N )
P(X 1,1 + · · · + X 1,N = N )
=
N !
k 1 ! . . . k N !
.
Ainsi, le modèle de Wright-Fisher du chapitre 12 est lié au modèle de GaltonWatson de loi de reproduction Poisson conditionné à être de taille constante
(remarque 13.1). Le processus de Galton-Watson décrit l’évolution de la taille
de la population, et ne dit rien à l’échelle individuelle. Réciproquement, si
(Y 1 , . . . , Y N ) suit la loi multinomiale Mul(N, (1/N, . . . , 1/N )) alors pour tout
k 1 fixé, (Y 1 , . . . , Y k ) converge en loi quand N → ∞ vers la loi produit
Poi(1)
⊗k , ce qui indique que les individus dans un processus de Wright-Fisher
de grande taille ont tendance à faire des enfants de manière poissonnienne et
indépendante les uns des autres.
Théorème 3.6 (Dichotomie). Presque sûrement, soit le processus s’éteint :
lim
n→∞
Z n = 0
soit il tend vers l’infini (explosion) :
lim
n→∞
Z n = ∞.
Autrement dit, presque sûrement
lim
n→∞
Z n =
∞ si T = ∞;
0
si T < ∞.
Démonstration. Comme p 0 > 0, on a P(z, 0) = p
z
0 > 0 pour tout z ∈ N
∗ ,
et comme 0 est absorbant, on en déduit que tout z ∈ N
∗ est transitoire. Or
presque sûrement, la chaîne ne visite qu’un nombre fini de fois chaque état
transitoire, et donc presque sûrement, soit la chaîne est capturée par l’état
absorbant 0 soit elle diverge vers l’infini. Autrement dit, p.s. le processus finit
par sortir, en temps suffisamment grand, de tout intervalle fini de N
∗ .