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3 Branchement et processus de Galton-Watson
P(z, ·) = P
∗z .
L’état 0 est absorbant (extinction de population). Le temps d’extinction est
T := inf{n 0 : Z n = 0} ∈ N ∪ {∞}.
Remarque 3.1 (Motivations initiales). L’une des motivations initiales de ce
modèle était d’estimer la probabilité de survie de la lignée masculine d’une
famille, et ceci explique sans doute le fait que le modèle soit asexué.
Remarque 3.2 (Arbre de Galton-Watson). La suite (Z n ) n0 issue de Z 0 = 1
se représente comme un arbre aléatoire dont la loi de branchement est P .
La variable Z n est le nombre de noeuds de profondeur n. Un arbre r-naire
correspond à P = δ r mais on prendra garde au fait qu’il ne s’agit pas d’un
graphe r-régulier car la racine (ancêtre général) possède r voisins tandis que
tous les autres sommets (descendants de l’ancêtre général) possèdent r + 1
voisins. L’arbre a pour profondeur ou hauteur T = inf{n ∈ N : Z n = 0},
pour largeur max n∈N Z n , et pour taille totale N = Z 0 + · · · + Z T −1 . L’arbre
de la figure 3.2 est de profondeur 3, largeur 5, et taille totale 12. Lorsque
Z 0 > 1, on parle parfois de forêt aléatoire.
On effectue à présent les observations suivantes :
— Le comportement de (Z n ) n0 se ramène au cas Z 0 = 1 car conditionnellement à {Z 0 = z}, la suite (Z n ) n0 a la loi de la somme de z copies
i.i.d. partant de 1. C’est la propriété de branchement :
Z
(x+y) loi
= Z
(x) + Z
(y)
où Z
(x) et Z
(y) sont indépendants ;
— Si p z = 1 pour un z ∈ N alors P = δ z d’où, pour tout n 0,
Z n+1 = zZ n = · · · = z
n+1 Z 0 ;
— Si p 0 = 0 et p 1 < 1 alors P(Z n ∞ | Z 0 = 1) = 1 en comparant à un
jeu de pile ou face ;
— Si p 0 + p 1 = 1 et p 0 = 0, alors P(Z n 0 | Z 0 = 1) = 1 en comparant à
un jeu de pile ou face, et le temps d’extinction T est géométrique.
Ces observations nous conduisent à supposer que dans toute la suite :
Z 0 = 1 et 0 < p 0 p 0 + p 1 < 1.
Ceci implique que p z < 1 pour tout z ∈ N. Ceci implique aussi que Z 1 ∼ P
car Z 0 = 1. Dans toute la suite, on note m := p 1 + 2p 2 + · · · la moyenne de
P lorsqu’elle existe, et σ
2
∈ R + la variance de P lorsque m existe.
3.1 Extinction et phénomène de seuil
Nous commençons par les deux premiers moments de Z n .
3 Branchement et processus de Galton-Watson
P(z, ·) = P
∗z .
L’état 0 est absorbant (extinction de population). Le temps d’extinction est
T := inf{n 0 : Z n = 0} ∈ N ∪ {∞}.
Remarque 3.1 (Motivations initiales). L’une des motivations initiales de ce
modèle était d’estimer la probabilité de survie de la lignée masculine d’une
famille, et ceci explique sans doute le fait que le modèle soit asexué.
Remarque 3.2 (Arbre de Galton-Watson). La suite (Z n ) n0 issue de Z 0 = 1
se représente comme un arbre aléatoire dont la loi de branchement est P .
La variable Z n est le nombre de noeuds de profondeur n. Un arbre r-naire
correspond à P = δ r mais on prendra garde au fait qu’il ne s’agit pas d’un
graphe r-régulier car la racine (ancêtre général) possède r voisins tandis que
tous les autres sommets (descendants de l’ancêtre général) possèdent r + 1
voisins. L’arbre a pour profondeur ou hauteur T = inf{n ∈ N : Z n = 0},
pour largeur max n∈N Z n , et pour taille totale N = Z 0 + · · · + Z T −1 . L’arbre
de la figure 3.2 est de profondeur 3, largeur 5, et taille totale 12. Lorsque
Z 0 > 1, on parle parfois de forêt aléatoire.
On effectue à présent les observations suivantes :
— Le comportement de (Z n ) n0 se ramène au cas Z 0 = 1 car conditionnellement à {Z 0 = z}, la suite (Z n ) n0 a la loi de la somme de z copies
i.i.d. partant de 1. C’est la propriété de branchement :
Z
(x+y) loi
= Z
(x) + Z
(y)
où Z
(x) et Z
(y) sont indépendants ;
— Si p z = 1 pour un z ∈ N alors P = δ z d’où, pour tout n 0,
Z n+1 = zZ n = · · · = z
n+1 Z 0 ;
— Si p 0 = 0 et p 1 < 1 alors P(Z n ∞ | Z 0 = 1) = 1 en comparant à un
jeu de pile ou face ;
— Si p 0 + p 1 = 1 et p 0 = 0, alors P(Z n 0 | Z 0 = 1) = 1 en comparant à
un jeu de pile ou face, et le temps d’extinction T est géométrique.
Ces observations nous conduisent à supposer que dans toute la suite :
Z 0 = 1 et 0 < p 0 p 0 + p 1 < 1.
Ceci implique que p z < 1 pour tout z ∈ N. Ceci implique aussi que Z 1 ∼ P
car Z 0 = 1. Dans toute la suite, on note m := p 1 + 2p 2 + · · · la moyenne de
P lorsqu’elle existe, et σ
2
∈ R + la variance de P lorsque m existe.
3.1 Extinction et phénomène de seuil
Nous commençons par les deux premiers moments de Z n .