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Branchement et processus de Galton-Watson
Mots-clés. Arbre aléatoire ; branchement ; généalogie ; dynamique de population ; phénomène de seuil.
Outils. Fonction génératrice ; transformée de Laplace ; martingale ; chaîne
de Markov ; marche aléatoire.
Difficulté. *
Les processus de branchement constituent une classe importante présente
dans un grand nombre de situations probabilistes. Ce chapitre est une introduction au processus de branchement de Galton-Watson, qui joue un rôle
presque aussi important que les marches aléatoires au sein des probabilités.
Le processus de Galton-Watson décrit l’évolution d’une population asexuée
au fil de générations qui ne se recoupent pas. Soit P := p 0 δ 0 + p 1 δ 1 + · · ·
une loi sur N appelée loi de reproduction. On passe de la génération n à la
génération n + 1 comme suit : tous les individus de la génération n donnent
indépendamment un nombre aléatoire d’enfants de loi P puis meurent. Si Z n
désigne le nombre d’individus de la génération n ∈ N, alors Z 0 représente la
taille de la population initiale et Z n+1 vérifie l’équation de récurrence
Z n+1 =
Zn
k=1
X n+1,k
où (X n,k ) n1,k1 sont des variables aléatoires i.i.d. de loi P , indépendantes de
Z 0 . On adopte la convention
∅ = 0 de sorte que si Z n = 0 alors Z n+1 = 0.
Pour tous n ∈ N et z 0 , . . . , z n ∈ N, on a
Loi(Z n+1 | Z 0 = z 0 , . . . , Z n = z n ) = Loi(Z n+1 | Z n = z n ) = P
∗zn .
La suite (Z n ) n0 est donc une chaîne de Markov d’espace d’états N et de
noyau de transition P donné pour tout z ∈ N par
39
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_3
Branchement et processus de Galton-Watson
Mots-clés. Arbre aléatoire ; branchement ; généalogie ; dynamique de population ; phénomène de seuil.
Outils. Fonction génératrice ; transformée de Laplace ; martingale ; chaîne
de Markov ; marche aléatoire.
Difficulté. *
Les processus de branchement constituent une classe importante présente
dans un grand nombre de situations probabilistes. Ce chapitre est une introduction au processus de branchement de Galton-Watson, qui joue un rôle
presque aussi important que les marches aléatoires au sein des probabilités.
Le processus de Galton-Watson décrit l’évolution d’une population asexuée
au fil de générations qui ne se recoupent pas. Soit P := p 0 δ 0 + p 1 δ 1 + · · ·
une loi sur N appelée loi de reproduction. On passe de la génération n à la
génération n + 1 comme suit : tous les individus de la génération n donnent
indépendamment un nombre aléatoire d’enfants de loi P puis meurent. Si Z n
désigne le nombre d’individus de la génération n ∈ N, alors Z 0 représente la
taille de la population initiale et Z n+1 vérifie l’équation de récurrence
Z n+1 =
Zn
k=1
X n+1,k
où (X n,k ) n1,k1 sont des variables aléatoires i.i.d. de loi P , indépendantes de
Z 0 . On adopte la convention
∅ = 0 de sorte que si Z n = 0 alors Z n+1 = 0.
Pour tous n ∈ N et z 0 , . . . , z n ∈ N, on a
Loi(Z n+1 | Z 0 = z 0 , . . . , Z n = z n ) = Loi(Z n+1 | Z n = z n ) = P
∗zn .
La suite (Z n ) n0 est donc une chaîne de Markov d’espace d’états N et de
noyau de transition P donné pour tout z ∈ N par
39
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_3