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2 Marches aléatoires
Le théorème 2.8 se généralise de la manière suivante :
Théorème 2.9 (Problème de Dirichlet et fonction de Green). Si A ⊂ Z
d
est un ensemble non vide fini alors pour toutes fonctions g : ∂A → R et
h : A → R, la fonction f : ¯
A → R définie pour tout x ∈ ¯
A par
f (x) = E x (g(X τ ∂A ) +
τ ∂A −1
n=0
h(X n ))
est l’unique solution de
f = g
sur ∂A,
Δf = −h sur A.
Lorsque d = 1 et h = 1 on retrouve la fonction R de la preuve du théorème
2.2. Le théorème 2.8 correspond au cas où h = 0. Pour tout x ∈ A on a
f (x) =
y∈∂A
g(y)P x (τ ∂A = y) +
y∈A
h(y)G A (x, y)
où G A (x, y) est le nombre moyen de passages en y en partant de x et avant
de sortir de A, c’est-à-dire
G A (x, y) := E x
τ ∂A −1
n=0
1 Xn=y
=
∞
n=0
P x (X n = y, n < τ ∂A ).
On dit que G A est la fonction de Green de la marche aléatoire simple symétrique sur A tuée au bord ∂A. C’est l’inverse de la restriction −Δ A de −Δ
aux fonctions sur ¯
A nulles sur ∂A :
G A = −Δ
−1
A .
En effet, si g = 0 et h = 1 {y} alors f (x) = G A (x, y) d’où Δ A G A = −I A .
Démonstration du théorème 2.9. Grâce au théorème 2.8 il suffit par linéarité
de vérifier que f (x) = 1 x∈A G A (x, z) est solution lorsque g = 0 et h = 1 {z}
avec z ∈ A. Or pour tout x ∈ A, grâce à la propriété de Markov,
f (x) = 1 {x=z} +
∞
n=1
P x (X n = z, n < τ ∂A )
= 1 {x=z} +
y:|x−y| 1 =1
∞
n=1
P(X n = z, n < τ ∂A | X 1 = y)P(x, y)
= 1 {x=z} +
u:|x−y| 1 =1
f (y)P(x, y).
On a bien f = h + Pf sur A, c’est-à-dire Δf = −h sur A.