2.3 Problème de Dirichlet et champ libre gaussien
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martingale, ce qui explique après coup la formule probabiliste pour la solution
du problème de Dirichlet grâce au théorème d’arrêt.
La quantité f (x) = E x (g(τ ∂A )) =
y∈∂A g(y)P x (τ ∂A = y) est la moyenne
de g pour la loi μ x sur ∂A, appelée mesure harmonique, définie par
μ x (y) = P x (X τ ∂A = y), y ∈ ∂A.
On peut également parler de noyau de Poisson discret par analogie avec le
problème de Dirichlet sur un ouvert de R
d (voir chapitre 24).
Démonstration. La propriété P x (τ ∂A < ∞) = 1 pour tout x ∈ A peut être
établie en procédant comme dans la remarque 2.3, ou encore comme dans la
preuve du théorème 2.2, qui fournit de plus une borne sous-géométrique pour
la queue de la loi de τ .
Vérifions que la fonction f proposée est bien solution. Pour tout x ∈ ∂A
on a τ ∂A = 0 sur {X 0 = x} et donc f = g sur ∂A. Montrons à présent que
Δf = 0 sur A. On se ramène tout d’abord par linéarité au cas où g = 1 {z}
avec z ∈ ∂A. Ensuite on écrit, pour tout y ∈ ¯
A,
f (y) = P y (X τ ∂A = z) =
∞
n=0
P y (X n = z, τ ∂A = n)
= 1 y=z + 1 y∈A
∞
n=1
x1,...,xn−1∈A
P(y, x 1 )P(x 1 , x 2 ) · · · P(x n−1 , z).
D’autre part, comme f = 0 sur ∂A \ {z} et Δ est local, on a, pour tout x ∈ A,
(Pf )(x) =
y∈Z d
P(x, y)f (y) = P(x, z)f (z) +
y∈A
P(x, y)f (y).
Par conséquent, pour tout x ∈ A,
(Pf )(x) = P(x, z)f (z) +
∞
n=1
y,x1,...,xn−1∈A
P(x, y)P(y, x 1 ) · · · P(x n−1 , z)
= P(x, z)f (z) + (f (x) − (1 x=z + P(x, z)))
= f (x)
où la dernière égalité vient de 1 x=z = 0 et f (z) = 1. Ainsi on a Pf = f sur
A, c’est-à-dire que Δf = 0 sur A.
Pour établir l’unicité de la solution, on se ramène par linéarité à établir que
f = 0 est l’unique solution lorsque g = 0. Or, si f : ¯
A → R est harmonique
sur A, l’interprétation de (Δf )(x) comme écart à la moyenne sur les plus
proches voisins permet d’établir qu’à la fois le minimum et le maximum de f
sur ¯
A sont (au moins) nécessairement atteints sur le bord ∂A. Or, comme par
ailleurs f est nulle sur ∂A, il en découle que f est nulle sur ¯
A.
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martingale, ce qui explique après coup la formule probabiliste pour la solution
du problème de Dirichlet grâce au théorème d’arrêt.
La quantité f (x) = E x (g(τ ∂A )) =
y∈∂A g(y)P x (τ ∂A = y) est la moyenne
de g pour la loi μ x sur ∂A, appelée mesure harmonique, définie par
μ x (y) = P x (X τ ∂A = y), y ∈ ∂A.
On peut également parler de noyau de Poisson discret par analogie avec le
problème de Dirichlet sur un ouvert de R
d (voir chapitre 24).
Démonstration. La propriété P x (τ ∂A < ∞) = 1 pour tout x ∈ A peut être
établie en procédant comme dans la remarque 2.3, ou encore comme dans la
preuve du théorème 2.2, qui fournit de plus une borne sous-géométrique pour
la queue de la loi de τ .
Vérifions que la fonction f proposée est bien solution. Pour tout x ∈ ∂A
on a τ ∂A = 0 sur {X 0 = x} et donc f = g sur ∂A. Montrons à présent que
Δf = 0 sur A. On se ramène tout d’abord par linéarité au cas où g = 1 {z}
avec z ∈ ∂A. Ensuite on écrit, pour tout y ∈ ¯
A,
f (y) = P y (X τ ∂A = z) =
∞
n=0
P y (X n = z, τ ∂A = n)
= 1 y=z + 1 y∈A
∞
n=1
x1,...,xn−1∈A
P(y, x 1 )P(x 1 , x 2 ) · · · P(x n−1 , z).
D’autre part, comme f = 0 sur ∂A \ {z} et Δ est local, on a, pour tout x ∈ A,
(Pf )(x) =
y∈Z d
P(x, y)f (y) = P(x, z)f (z) +
y∈A
P(x, y)f (y).
Par conséquent, pour tout x ∈ A,
(Pf )(x) = P(x, z)f (z) +
∞
n=1
y,x1,...,xn−1∈A
P(x, y)P(y, x 1 ) · · · P(x n−1 , z)
= P(x, z)f (z) + (f (x) − (1 x=z + P(x, z)))
= f (x)
où la dernière égalité vient de 1 x=z = 0 et f (z) = 1. Ainsi on a Pf = f sur
A, c’est-à-dire que Δf = 0 sur A.
Pour établir l’unicité de la solution, on se ramène par linéarité à établir que
f = 0 est l’unique solution lorsque g = 0. Or, si f : ¯
A → R est harmonique
sur A, l’interprétation de (Δf )(x) comme écart à la moyenne sur les plus
proches voisins permet d’établir qu’à la fois le minimum et le maximum de f
sur ¯
A sont (au moins) nécessairement atteints sur le bord ∂A. Or, comme par
ailleurs f est nulle sur ∂A, il en découle que f est nulle sur ¯
A.