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2 Marches aléatoires
2.3 Problème de Dirichlet et champ libre gaussien
Soit (X n ) n0 la marche aléatoire simple sur Z
d , et P son noyau de transition. Pour toute fonction bornée f : Z
d
→ R et tout x ∈ Z
d on a,
E(f (X n+1 ) | X n = x) − f (x) = (Pf )(x) − f (x) = (Δf )(x),
où Δ := P − I. L’opérateur Δ est le générateur de la marche aléatoire simple
symétrique sur Z
d . Il s’agit d’un opérateur laplacien discret, qui calcule l’écart
à la moyenne sur les voisins :
(Δf )(x) =
⎛
⎝ 1
2d
y:|y−x| 1 =1
f (y)
⎞
⎠ − f (x) =
1
2d
y:|y−x| 1 =1
(f (y) − f (x)).
On dit que f est harmonique sur A ⊂ Z
d lorsque Δf = 0 sur A, ce qui signifie
qu’en tout point de A la valeur de f est égale à la moyenne de ses valeurs sur
les 2d voisins. L’opérateur Δ est local en ce sens que (Δf )(x) ne dépend que
des valeurs de f en x et ses plus proches voisins. Ainsi la valeur de Δf sur A
ne dépend que des valeurs de f sur ¯
A := A ∪ ∂A où
∂A := {y ∈ A : ∃x ∈ A, |x − y| 1 = 1}
est le bord extérieur de A. Le problème de Dirichlet consiste à trouver une
fonction harmonique sur A dont la valeur sur ∂A est prescrite. Il s’agit en
fait d’un problème d’algèbre linéaire, pour lequel le théorème 2.8 ci-dessous
fournit une expression probabiliste de la solution utilisant le temps d’atteinte
τ ∂A := inf{n 0 : X n ∈ ∂A}.
On s’intéresse à la même question sur un ouvert de R
d pour l’opérateur laplacien classique dans le chapitre 24.
Théorème 2.8 (Problème de Dirichlet). Soit A ⊂ Z
d un ensemble non vide
fini. Alors pour tout x ∈ A on a P x (τ ∂A < ∞) = 1. De plus, pour toute
fonction g : ∂A → R, la fonction f : ¯
A → R définie pour tout x ∈ ¯
A par
f (x) = E x (g(X τ ∂A ))
est l’unique solution du système
f = g
sur ∂A,
Δf = 0 sur A.
Lorsque d = 1 on retrouve la fonction r étudiée dans la preuve du théorème
2.2 sur la ruine du joueur. D’autre part, d’après la remarque 2.4, l’image d’une
chaîne de Markov par une fonction harmonique pour son générateur est une
2 Marches aléatoires
2.3 Problème de Dirichlet et champ libre gaussien
Soit (X n ) n0 la marche aléatoire simple sur Z
d , et P son noyau de transition. Pour toute fonction bornée f : Z
d
→ R et tout x ∈ Z
d on a,
E(f (X n+1 ) | X n = x) − f (x) = (Pf )(x) − f (x) = (Δf )(x),
où Δ := P − I. L’opérateur Δ est le générateur de la marche aléatoire simple
symétrique sur Z
d . Il s’agit d’un opérateur laplacien discret, qui calcule l’écart
à la moyenne sur les voisins :
(Δf )(x) =
⎛
⎝ 1
2d
y:|y−x| 1 =1
f (y)
⎞
⎠ − f (x) =
1
2d
y:|y−x| 1 =1
(f (y) − f (x)).
On dit que f est harmonique sur A ⊂ Z
d lorsque Δf = 0 sur A, ce qui signifie
qu’en tout point de A la valeur de f est égale à la moyenne de ses valeurs sur
les 2d voisins. L’opérateur Δ est local en ce sens que (Δf )(x) ne dépend que
des valeurs de f en x et ses plus proches voisins. Ainsi la valeur de Δf sur A
ne dépend que des valeurs de f sur ¯
A := A ∪ ∂A où
∂A := {y ∈ A : ∃x ∈ A, |x − y| 1 = 1}
est le bord extérieur de A. Le problème de Dirichlet consiste à trouver une
fonction harmonique sur A dont la valeur sur ∂A est prescrite. Il s’agit en
fait d’un problème d’algèbre linéaire, pour lequel le théorème 2.8 ci-dessous
fournit une expression probabiliste de la solution utilisant le temps d’atteinte
τ ∂A := inf{n 0 : X n ∈ ∂A}.
On s’intéresse à la même question sur un ouvert de R
d pour l’opérateur laplacien classique dans le chapitre 24.
Théorème 2.8 (Problème de Dirichlet). Soit A ⊂ Z
d un ensemble non vide
fini. Alors pour tout x ∈ A on a P x (τ ∂A < ∞) = 1. De plus, pour toute
fonction g : ∂A → R, la fonction f : ¯
A → R définie pour tout x ∈ ¯
A par
f (x) = E x (g(X τ ∂A ))
est l’unique solution du système
f = g
sur ∂A,
Δf = 0 sur A.
Lorsque d = 1 on retrouve la fonction r étudiée dans la preuve du théorème
2.2 sur la ruine du joueur. D’autre part, d’après la remarque 2.4, l’image d’une
chaîne de Markov par une fonction harmonique pour son générateur est une