2.2 Marche aléatoire simple symétrique dans l’espace
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et (V n ) n0 sont des marches aléatoires simples symétriques sur
1
√
2
Z, indépendantes ! De plus, X n = 0 si et seulement si U n = V n = 0, ce qui
donne P
2n (0, 0) ∼
1
πn , et la chaîne est donc récurrente. Attention : les
composantes de (X n ) n0 (abscisse et ordonnée) ne sont pas des marches
aléatoires simples sur Z, mais constituent des chaînes de Markov de noyau
Q(x, y) =
1
4 1 |x−y|=1 +
1
2 1 x=y (il est possible d’établir qu’elles sont récurrentes, mais cela ne conduit à rien de bien utile).
Cas d = 3 (méthode directe). La formule du multinôme donne ici
P
2n (0, 0) =
1
6 2n
r1+r2+r3=n
(2n)!
r 1 ! 2 r 2 ! 2 r 3 ! 2
=
(2n)!
2 2n 3 n n! 2
r1+r2+r3=n
n
r 1 r 2 r 3
2
1
3
n
.
Si n = 3m alors une petite étude montre que
n
r 1 r 2 r 3
n
m m m
et donc, grâce à la formule du trinôme de taille n et de second paramètre
(1/3, 1/3, 1/3), on obtient, pour n = 3m,
P
2n (0, 0)
(2n)!
2 2n 3 n n! 2
n
m m m
∼
1
2
3
πn
3/2
=
c
n 3/2 .
Ainsi,
m P
6m (0, 0) < ∞. Comme pour k = 1, 2,
1
6 2k P
6m (0, 0) P
6m+2k (0, 0),
il vient,
n
P
2n (0, 0) =
k=0,1,2
m
P
6m+2k (0, 0) < ∞,
et donc la chaîne est transitoire.
Cas d > 3 (méthode astucieuse à partir du cas d = 3). Soit X
= (X
n ) n0
la chaîne projetée sur Z
3 c’est-à-dire constituée par les trois premières coordonnées de X = (X n ) n0 . Il s’agit d’une chaîne de Markov sur Z
3 de noyau
Q :=
1 −
d − 3
d
P +
d − 3
d
I
où P est le noyau de la marche aléatoire simple symétrique X
sur Z
3 . Un
retour à zéro de X s’accompagne toujours d’un retour à zéro de X
, et donc si
X
est transitoire alors forcément X l’est aussi. Or les trajectoires de X
sont
les trajectoires de X
avec des temporisations géométriques à chaque site, et
en particulier, les fréquences asymptotiques de passage sont les mêmes, ce qui
fait que la transience de X
implique celle de X
, et donc X est transitoire.