28
2 Marches aléatoires
= lim
ρ↑1
[0,1[ d
∞
n=0
ρ
n (ϕ ε1 (x))
n dx
= lim
ρ↑1
[0,1[ d
1
1 − ρϕ ε1 (x)
dx
= lim
ρ↑1
[0,1[ d
d
d
k=1 (1 − ρ cos(2πx k ))
dx
=
[0,1[ d
d
d
k=1 (1 − cos(2πx k ))
dx,
où la commutation de la limite quand ρ ↑ 1 et de l’intégrale s’obtient par
convergence monotone. Le comportement de l’intégrale obtenue dépend uniquement du comportement de la fonction sous le signe somme au voisinage
de 0. Un passage en coordonnées sphériques ainsi qu’un développement limité
en 0 montrent que l’intégrale est finie ssi r 0 → r
d−3 est intégrable au
voisinage de 0, c’est-à-dire d > 2, c’est-à-dire d 3 car d est entier !
On peut étudier la récurrence de la marche aléatoire simple symétrique
sur Z
d (X n ) n0 en utilisant la combinatoire, plutôt que l’analyse de Fourier.
En effet, la chaîne est irréductible et de période 2 pour tout d 1 et il suffit
donc d’étudier
n P
2n (0, 0). La formule multinomiale donne
P
2n (0, 0) =
1
(2d) 2n
r1+···+r 2d =n
r1=r2,...,r d−1 =r d
2n
r 1 , . . . , r 2d
=
1
(2d) 2n
r1+···+r d =n
(2n)!
r 1 ! 2 · · · r d ! 2 .
Le cas d = 1 est déjà traité. Restent les cas d = 2 et d 3.
Cas d = 2 (méthode directe). L’identité de Vandermonde
3 donne
P
2n (0, 0) =
1
4 2n
n1+n2=n
(2n)!
n 1 ! 2 n 2 ! 2
=
(2n)!
4 2n n! 2
n
k=0
n
k
2
=
(2n)!
4 2n n! 2
(2n)!
n! 2
∼
n→∞
1
πn
qui n’est donc pas sommable, et la chaîne est donc récurrente. La récurrence
nulle vient du fait que la mesure de comptage, qui n’est pas finie car Z
2 est
infini, est une mesure symétrique et donc invariante.
Cas d = 2 (méthode astucieuse). Soient U n et V n les projections de X n
sur les première et seconde bissectrices (pentes ±1). On vérifie que (U n ) n0
3. Il s’agit de la formule de «convolution»
n+m
r
=
r
k=0
n
k
m
r−k
.
2 Marches aléatoires
= lim
ρ↑1
[0,1[ d
∞
n=0
ρ
n (ϕ ε1 (x))
n dx
= lim
ρ↑1
[0,1[ d
1
1 − ρϕ ε1 (x)
dx
= lim
ρ↑1
[0,1[ d
d
d
k=1 (1 − ρ cos(2πx k ))
dx
=
[0,1[ d
d
d
k=1 (1 − cos(2πx k ))
dx,
où la commutation de la limite quand ρ ↑ 1 et de l’intégrale s’obtient par
convergence monotone. Le comportement de l’intégrale obtenue dépend uniquement du comportement de la fonction sous le signe somme au voisinage
de 0. Un passage en coordonnées sphériques ainsi qu’un développement limité
en 0 montrent que l’intégrale est finie ssi r 0 → r
d−3 est intégrable au
voisinage de 0, c’est-à-dire d > 2, c’est-à-dire d 3 car d est entier !
On peut étudier la récurrence de la marche aléatoire simple symétrique
sur Z
d (X n ) n0 en utilisant la combinatoire, plutôt que l’analyse de Fourier.
En effet, la chaîne est irréductible et de période 2 pour tout d 1 et il suffit
donc d’étudier
n P
2n (0, 0). La formule multinomiale donne
P
2n (0, 0) =
1
(2d) 2n
r1+···+r 2d =n
r1=r2,...,r d−1 =r d
2n
r 1 , . . . , r 2d
=
1
(2d) 2n
r1+···+r d =n
(2n)!
r 1 ! 2 · · · r d ! 2 .
Le cas d = 1 est déjà traité. Restent les cas d = 2 et d 3.
Cas d = 2 (méthode directe). L’identité de Vandermonde
3 donne
P
2n (0, 0) =
1
4 2n
n1+n2=n
(2n)!
n 1 ! 2 n 2 ! 2
=
(2n)!
4 2n n! 2
n
k=0
n
k
2
=
(2n)!
4 2n n! 2
(2n)!
n! 2
∼
n→∞
1
πn
qui n’est donc pas sommable, et la chaîne est donc récurrente. La récurrence
nulle vient du fait que la mesure de comptage, qui n’est pas finie car Z
2 est
infini, est une mesure symétrique et donc invariante.
Cas d = 2 (méthode astucieuse). Soient U n et V n les projections de X n
sur les première et seconde bissectrices (pentes ±1). On vérifie que (U n ) n0
3. Il s’agit de la formule de «convolution»
n+m
r
=
r
k=0
n
k
m
r−k
.