2.2 Marche aléatoire simple symétrique dans l’espace
27
-10
-5
0
5
-10
-5
0
5
Trajectoire de marche simple sur le plan
Fig. 2.3. Début de trajectoire de la marche aléatoire simple sur Z
2 .
(k 1 , . . . , k 2d ) ∈ N
2d
→ (k 1 − k 2 , . . . , k 2d−1 − k 2d ) ∈ Z
d .
Notons que le temps (aléatoire) au bout duquel la marche aléatoire a emprunté
les 2d directions qui s’offrent à elle suit la loi du collectionneur de coupons
étudiée dans le chapitre 1 avec r = 2d.
Théorème 2.7 (Marche aléatoire simple symétrique). La marche aléatoire
simple symétrique sur Z
d est récurrente nulle si d 2 et transitoire si d 3.
Démonstration. La preuve est basée sur l’analyse de Fourier. Rappelons tout
d’abord que pour toute variable aléatoire Z à valeurs dans Z
d on a
P(Z = z) =
[0,1[ d
e
2πiz,x ϕ Z (x) dx où ϕ Z (x) =
z∈Z d
e
−2πiz,x
P(Z = z).
Ensuite, en introduisant un paramètre ρ ∈ [0, 1[ pour permuter série et intégrale, on a, en utilisant ce qui précède, la série d’égalités suivante :
∞
n=0
P
n (0, 0) = lim
ρ↑1
∞
n=0
ρ
n P
n (ε 1 + · · · + ε n = 0)
= lim
ρ↑1
∞
n=0
[0,1[ d
ρ
n e
2πi0,x ϕ ε1+···+εn (x) dx
= lim
ρ↑1
∞
n=0
[0,1[ d
ρ
n (ϕ ε1 (x))
n dx