2.3 Problème de Dirichlet et champ libre gaussien
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Les preuves des théorèmes 2.8 et 2.9 restent valables pour des marches
aléatoires asymétriques sur Z
d , à condition de remplacer le générateur Δ de
la marche symétrique par le générateur L := P−I, qui est un opérateur local :
|x − y| > 1 ⇒ L(x, y) = P(x, y) = 0. Le dépassement de ce cadre nécessite
l’adaptation de la notion de bord : {y ∈ A : ∃x ∈ A, L(x, y) > 0}.
Le champ libre gaussien
4 est un modèle d’interface aléatoire lié à la marche
aléatoire simple symétrique et au problème de Dirichlet. Soit A ⊂ Z
d un sousensemble non-vide fini. Une interface est une fonction de hauteur f : ¯
A → R
qui associe à chaque site x ∈ ¯
A une hauteur f (x), aussi appelée spin. Pour
simplifier, on impose la condition au bord f = 0 sur le bord extérieur ∂A de
A. On note F A l’ensemble des interfaces f sur ¯
A nulles sur le bord ∂A, qu’on
peut identifier à R
A . L’énergie H A (f ) de l’interface f ∈ F A est définie par
H A (f ) =
1
4d
{x,y}⊂ ¯
A
|x−y| 1 =1
(f (x) − f (y))
2 ,
où on a posé f = 0 sur ∂A. L’énergie H A (f ) est d’autant plus petite que
l’interface f est «plate». En notant
u, v A :=
x∈A
u(x)v(x)
il vient, pour tout f ∈ F A ,
H A (f ) =
1
4d
x∈A
y∈ ¯
A
|x−y| 1 =1
(f (x) − f (y))f (x) =
1
2
−Δf, f A .
Comme H A (0) = 0 et H A (f ) = 0 entraîne f = 0, la forme quadratique H A
n’est pas dégénérée, et on peut définir une loi gaussienne Q A sur F A favorisant
les faibles énergies :
Q A (df ) =
1
Z A
e
−H A (f ) df où Z A :=
F A
e
−H A (f ) df.
Cette loi gaussienne, appelée champ libre gaussien, est caractérisée par sa
moyenne m A : A → R et sa matrice de covariance C A : A × A → R, données
pour tous x, y ∈ A par
m A (x) :=
f x Q A (df ) = 0
et
C A (x, y) :=
f x f y Q A (df ) − m A (x)m A (y) = −(Δ
−1
A )(x, y) = G A (x, y),
où f x désigne l’application coordonnée f x : f ∈ F A → f (x) ∈ R.
4. «Gaussian free field» (GFF) en anglais.
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Les preuves des théorèmes 2.8 et 2.9 restent valables pour des marches
aléatoires asymétriques sur Z
d , à condition de remplacer le générateur Δ de
la marche symétrique par le générateur L := P−I, qui est un opérateur local :
|x − y| > 1 ⇒ L(x, y) = P(x, y) = 0. Le dépassement de ce cadre nécessite
l’adaptation de la notion de bord : {y ∈ A : ∃x ∈ A, L(x, y) > 0}.
Le champ libre gaussien
4 est un modèle d’interface aléatoire lié à la marche
aléatoire simple symétrique et au problème de Dirichlet. Soit A ⊂ Z
d un sousensemble non-vide fini. Une interface est une fonction de hauteur f : ¯
A → R
qui associe à chaque site x ∈ ¯
A une hauteur f (x), aussi appelée spin. Pour
simplifier, on impose la condition au bord f = 0 sur le bord extérieur ∂A de
A. On note F A l’ensemble des interfaces f sur ¯
A nulles sur le bord ∂A, qu’on
peut identifier à R
A . L’énergie H A (f ) de l’interface f ∈ F A est définie par
H A (f ) =
1
4d
{x,y}⊂ ¯
A
|x−y| 1 =1
(f (x) − f (y))
2 ,
où on a posé f = 0 sur ∂A. L’énergie H A (f ) est d’autant plus petite que
l’interface f est «plate». En notant
u, v A :=
x∈A
u(x)v(x)
il vient, pour tout f ∈ F A ,
H A (f ) =
1
4d
x∈A
y∈ ¯
A
|x−y| 1 =1
(f (x) − f (y))f (x) =
1
2
−Δf, f A .
Comme H A (0) = 0 et H A (f ) = 0 entraîne f = 0, la forme quadratique H A
n’est pas dégénérée, et on peut définir une loi gaussienne Q A sur F A favorisant
les faibles énergies :
Q A (df ) =
1
Z A
e
−H A (f ) df où Z A :=
F A
e
−H A (f ) df.
Cette loi gaussienne, appelée champ libre gaussien, est caractérisée par sa
moyenne m A : A → R et sa matrice de covariance C A : A × A → R, données
pour tous x, y ∈ A par
m A (x) :=
f x Q A (df ) = 0
et
C A (x, y) :=
f x f y Q A (df ) − m A (x)m A (y) = −(Δ
−1
A )(x, y) = G A (x, y),
où f x désigne l’application coordonnée f x : f ∈ F A → f (x) ∈ R.
4. «Gaussian free field» (GFF) en anglais.