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27 Des chaînes de Markov aux processus de diffusion
De même, soit une suite (Y
N ) N 1 de processus de naissance et mort de
taux respectifs (λ N n) n∈N et (μ N n) n∈N . On suppose que
N (λ N − μ N ) = b + O(1/N ) et λ N + μ N = 2a + O(1/N ).
Alors la suite de processus (Y
N
N ·· /N )
N 1
converge vers la diffusion X solution
de l’équation différentielle suivante :
dX t =
2aX t dB t + bX t dt.
Les schémas d’Euler associés à des processus de diffusion ont été très largement étudiés. Citons les ouvrages de synthèse de Peter Kloeden et Eckhard
Platen [KP95], Nicolas Bouleau et Dominique Lépingle [BL94] pour la preuve
du théorème 27.21. Ajoutons également le livre de Carl Graham et Denis Talay
[GT13]. Il est possible d’améliorer le théorème 27.20 en obtenant un développement limité de l’erreur faible en puissances de α. Ceci permet d’accélérer la
convergence : en combinant des schémas de pas 2α et α on obtient une erreur
de l’ordre de α
2 ! Cette méthode, appelée extrapolation de Romberg, est également utilisée en analyse numérique des équations différentielles ordinaires.
Les deux travaux fondateurs dans cette direction sont dus à Denis Talay et
Luciano Tubaro [TT90], qui supposent que la fonction test est très régulière,
puis à Vlad Bally et Denis Talay [BT95] qui, grâce au calcul de Malliavin, obtiennent le résultat pour des fonctions mesurables bornées si les coefficients σ
et b sont réguliers. La contribution de Denis Talay [Tal96] propose également
une synthèse sur les estimations de l’erreur faible.
27 Des chaînes de Markov aux processus de diffusion
De même, soit une suite (Y
N ) N 1 de processus de naissance et mort de
taux respectifs (λ N n) n∈N et (μ N n) n∈N . On suppose que
N (λ N − μ N ) = b + O(1/N ) et λ N + μ N = 2a + O(1/N ).
Alors la suite de processus (Y
N
N ·· /N )
N 1
converge vers la diffusion X solution
de l’équation différentielle suivante :
dX t =
2aX t dB t + bX t dt.
Les schémas d’Euler associés à des processus de diffusion ont été très largement étudiés. Citons les ouvrages de synthèse de Peter Kloeden et Eckhard
Platen [KP95], Nicolas Bouleau et Dominique Lépingle [BL94] pour la preuve
du théorème 27.21. Ajoutons également le livre de Carl Graham et Denis Talay
[GT13]. Il est possible d’améliorer le théorème 27.20 en obtenant un développement limité de l’erreur faible en puissances de α. Ceci permet d’accélérer la
convergence : en combinant des schémas de pas 2α et α on obtient une erreur
de l’ordre de α
2 ! Cette méthode, appelée extrapolation de Romberg, est également utilisée en analyse numérique des équations différentielles ordinaires.
Les deux travaux fondateurs dans cette direction sont dus à Denis Talay et
Luciano Tubaro [TT90], qui supposent que la fonction test est très régulière,
puis à Vlad Bally et Denis Talay [BT95] qui, grâce au calcul de Malliavin, obtiennent le résultat pour des fonctions mesurables bornées si les coefficients σ
et b sont réguliers. La contribution de Denis Talay [Tal96] propose également
une synthèse sur les estimations de l’erreur faible.