27.7 Pour aller plus loin
371
t). Reste une difficulté de taille : montrer que l’on contrôle les dérivées de
P α(n−k) f pour que le développement limité ci-dessus soit valide. Ceci découle
de propriétés de régularité de la solution de l’équation aux dérivées partielles
parabolique ∂ t u = Lu.
Il est également possible de contrôler l’écart trajectoriel entre les processus
X et X
α supposés être construits avec le même mouvement brownien.
Théorème 27.21 (Erreur forte). S’il existe C > 0 tel que pour tous x, y ∈ R,
|b(x) − b(y)| + |σ(x) − σ(y)| C|x − y|,
alors, pour tout p 횾 1 et tout T > 0, il existe K p (T ) tel que
E
sup
0tT
|X t − X
α
t |
p
K p (T )α
p/2 .
La démonstration de ce résultat est technique mais assez directe. Elle
repose essentiellement sur la formule d’Itô, le lemme de Grönwall et l’inégalité
de Burkholder-Davis-Gundy.
27.7 Pour aller plus loin
De nombreux ouvrages sont consacrés au calcul stochastique et aux processus de diffusion. On trouvera notamment dans le livre d’Iosif Gikhman
et Anatoliy Skorokhod [GS72] l’étude des diffusions sur un intervalle de R
et leurs comportements aux bords du domaine. Les différentes variantes et
subtilités des résultats de convergence de processus sont rassemblées dans le
livre [EK86] de Stewart Ethier et Thomas Kurtz. La section 7.4 de cet ouvrage très dense concerne notamment l’approximation diffusive et propose une
démonstration du théorème 27.3.
Citons encore deux exemples classiques de convergence pour des processus
de Markov à temps continu et espaces d’états discrets vers une diffusion.
Pour N ∈ N
∗ , soit Z
N λ,μ la file d’attente M/M/∞, étudiée dans le chapitre 11, de taux d’arrivée Nλ et de taux de service μ. Pour tous N 1 et
t 0, posons
X
N
t =
√
N
Z
N λ,μ
t
N
−
λ
μ
avec Z
N λ,μ
0
= N λ/μ +
√
Nx.
La suite (X
N
N ·· )
N 1
converge en loi vers le processus d’Ornstein-Uhlenbeck
solution de
dX t =
√
2λ dB t − μX t dt avec X 0 = x,
Cette approximation d’une file d’attente par une diffusion est très utilisée en
pratique. On nomme ce modèle une file fluide. On pourra consulter à ce propos
le livre de Philippe Robert [Rob00].
371
t). Reste une difficulté de taille : montrer que l’on contrôle les dérivées de
P α(n−k) f pour que le développement limité ci-dessus soit valide. Ceci découle
de propriétés de régularité de la solution de l’équation aux dérivées partielles
parabolique ∂ t u = Lu.
Il est également possible de contrôler l’écart trajectoriel entre les processus
X et X
α supposés être construits avec le même mouvement brownien.
Théorème 27.21 (Erreur forte). S’il existe C > 0 tel que pour tous x, y ∈ R,
|b(x) − b(y)| + |σ(x) − σ(y)| C|x − y|,
alors, pour tout p 횾 1 et tout T > 0, il existe K p (T ) tel que
E
sup
0tT
|X t − X
α
t |
p
K p (T )α
p/2 .
La démonstration de ce résultat est technique mais assez directe. Elle
repose essentiellement sur la formule d’Itô, le lemme de Grönwall et l’inégalité
de Burkholder-Davis-Gundy.
27.7 Pour aller plus loin
De nombreux ouvrages sont consacrés au calcul stochastique et aux processus de diffusion. On trouvera notamment dans le livre d’Iosif Gikhman
et Anatoliy Skorokhod [GS72] l’étude des diffusions sur un intervalle de R
et leurs comportements aux bords du domaine. Les différentes variantes et
subtilités des résultats de convergence de processus sont rassemblées dans le
livre [EK86] de Stewart Ethier et Thomas Kurtz. La section 7.4 de cet ouvrage très dense concerne notamment l’approximation diffusive et propose une
démonstration du théorème 27.3.
Citons encore deux exemples classiques de convergence pour des processus
de Markov à temps continu et espaces d’états discrets vers une diffusion.
Pour N ∈ N
∗ , soit Z
N λ,μ la file d’attente M/M/∞, étudiée dans le chapitre 11, de taux d’arrivée Nλ et de taux de service μ. Pour tous N 1 et
t 0, posons
X
N
t =
√
N
Z
N λ,μ
t
N
−
λ
μ
avec Z
N λ,μ
0
= N λ/μ +
√
Nx.
La suite (X
N
N ·· )
N 1
converge en loi vers le processus d’Ornstein-Uhlenbeck
solution de
dX t =
√
2λ dB t − μX t dt avec X 0 = x,
Cette approximation d’une file d’attente par une diffusion est très utilisée en
pratique. On nomme ce modèle une file fluide. On pourra consulter à ce propos
le livre de Philippe Robert [Rob00].