27.6 Schéma d’Euler
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Notons que H
N
0 = H
N
1 = 0. De plus, pour tous 0 y x 1,
Cov(H
N
y , H
N
x ) = y(1 − x)
puisque Cov(1 {U k y} , 1 {U k x} ) = y(1 − x). Ce calcul s’étend aisément à la
convergence d’une marginale quelconque (H
N
x1 , . . . , H
N
x k
). On obtient alors le
résultat suivant.
Théorème 27.17 (Pont brownien). La suite de processus (H
N ) N 1 converge
vers le processus gaussien (M x ) x∈[0,1] qui est centré et de covariance
Cov(M y , M x ) = y(1 − x)
pour 0 y x 1. Ce processus est appelé le pont brownien.
Ce résultat de convergence en loi du processus empirique, couplé avec
des propriétés de continuité des normes du supremum et L
2 sur un espace
de processus permet de retrouver les théorèmes de Kolmogorov-Smirnov et
Cramér-Von Mises.
Corollaire 27.18 (Kolmogorov-Smirnov et Cramér-Von Mises).
sup
x∈[0,1]
H
N
x
loi
−→
N →∞
sup
x∈[0,1]
|M x | et
1
0
(H
N
x )
2 dx
loi
−→
N →∞
1
0
M
2
x dx.
Les propriétés remarquables du mouvement brownien permettent de déterminer les lois des variables aléatoires intervenant dans le corollaire ci-dessus.
Remarque 27.19 (Définitions alternatives). Le pont brownien peut être défini de plusieurs autres façons :
— le mouvement brownien standard sur l’intervalle de temps [0, 1] conditionné à être nul aux instants 0 et 1 ;
— le processus (M t ) t∈[0,1] donné par M t = B t − tB 1 où (B t ) t0 est un
mouvement brownien standard ;
— la solution de l’équation différentielle stochastique inhomogène
dM t = dB t −
M t
1 − t
dt.
La dernière formulation, contrairement à la deuxième, montre que le pont
brownien est un processus de Markov.
27.6 Schéma d’Euler
Considérons le processus de diffusion (X t ) t≥0 solution de l’équation différentielle stochastique suivante :
dX t = σ(X t ) dB t + b(X t )dt.