368
27 Des chaînes de Markov aux processus de diffusion
0
5
10
15
20
25
30
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Espérance du temps de sortie
Estimation
IdC
Fig. 27.4. Espérance du temps de fixation pour N = 30 et α = 10.
(π i ) 1ik , le processus des proportions des allèles est à valeurs dans le simplexe Δ de R
k , de dimension k − 1, et la densité de sa loi invariante par
rapport à la mesure de Lebesgue sur Δ est
ν(y 1 , . . . , y K ) =
Γ (θ)
Γ (θπ 1 ) · · · Γ (θπ K )
y
Γ (θπ1)−1
1
· · · y
Γ (θπ K )−1
K
1 Δ (y 1 , . . . , y k ).
27.5 Fonction de répartition empirique
Soit (U n ) n1 une suite de v.a. i.i.d. de loi uniforme sur [0, 1]. La fonction
de répartition empirique F
N de U 1 , . . . , U N est définie par
F
N (x) =
1
N
N
k=1
1 {U k x} pour x ∈ R.
Introduisons le processus (H
N
x ) x∈[0,1] défini par H
N
x =
√
N (F
N (x) − x)) pour
x ∈ [0, 1]. La loi forte des grands nombres et le théorème limite central assurent
que, pour tout x ∈ [0, 1],
F
N (x)
p.s.
−→
N →∞
x et H
N
x
loi
−→
N →∞
N (0, x(1 − x)).
27 Des chaînes de Markov aux processus de diffusion
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30
0
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Espérance du temps de sortie
Estimation
IdC
Fig. 27.4. Espérance du temps de fixation pour N = 30 et α = 10.
(π i ) 1ik , le processus des proportions des allèles est à valeurs dans le simplexe Δ de R
k , de dimension k − 1, et la densité de sa loi invariante par
rapport à la mesure de Lebesgue sur Δ est
ν(y 1 , . . . , y K ) =
Γ (θ)
Γ (θπ 1 ) · · · Γ (θπ K )
y
Γ (θπ1)−1
1
· · · y
Γ (θπ K )−1
K
1 Δ (y 1 , . . . , y k ).
27.5 Fonction de répartition empirique
Soit (U n ) n1 une suite de v.a. i.i.d. de loi uniforme sur [0, 1]. La fonction
de répartition empirique F
N de U 1 , . . . , U N est définie par
F
N (x) =
1
N
N
k=1
1 {U k x} pour x ∈ R.
Introduisons le processus (H
N
x ) x∈[0,1] défini par H
N
x =
√
N (F
N (x) − x)) pour
x ∈ [0, 1]. La loi forte des grands nombres et le théorème limite central assurent
que, pour tout x ∈ [0, 1],
F
N (x)
p.s.
−→
N →∞
x et H
N
x
loi
−→
N →∞
N (0, x(1 − x)).