27.4 Application aux processus de Wright-Fisher
367
0
5
10
15
20
25
30
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
Probabilité de sortir à droite
Estimation
IdC
Theorie
Fig. 27.3. Probabilité de fixation de A pour N = 30 et α = 2.
z
(x) + 2αz
(x) = −
1
x(1 − x)
, avec z(0) = 0 et z(1) = 0,
n’a pas de solution explicite. La figure 27.4 propose une estimation du temps
d’absorption pour N = 30 et α = 10.
Exemple 27.15 (Mutation sans sélection). On suppose ici que α = 0. La
diffusion est solution de
dX t =
X t (1 − X t ) dB t + (−β A X t + β B (1 − X t )) dt.
Cette diffusion reste dans l’intervalle ]0, 1[, c’est-à-dire que T 0,1 est infini p.s.
De plus, elle admet pour loi invariante ν la loi Beta(2β B , 2β A ), c’est-à-dire
que
ν(dy) =
Γ (2β A + 2β B )
Γ (2β A )Γ (2β B )
y
2β B −1 (1 − y)
2β A −1 dy.
En particulier, si Y suit la loi ν,
E(Y ) =
β B
β A + β B
et Var(Y ) =
β A β B
(β A + β B ) 2 (2(β A + β B ) + 1)
.
Remarque 27.16 (Modèle multi-allèles). Dans le modèle à k allèles distincts
avec un taux de mutation total θ/2 et des probabilités respectives de mutation