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27 Des chaînes de Markov aux processus de diffusion
Exemple 27.13 (Ni mutation, ni sélection). Si α = β A = β B = 0 alors
la dérive de la diffusion est nulle : la diffusion est une martingale, on a
P x (Z T0,1 = 1) = x, et l’espérance du temps de fixation est donnée par
E x (T 0,1 ) = −2[x log(x) + (1 − x) log(1 − x)].
Ceci est illustré par la figure 27.2.
0
10
20
30
40
50
60
−10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Espérance du temps de sortie
Estimation
Theorie
Fig. 27.2. Estimation du temps de fixation pour N = 40 en l’absence de sélection
et de mutation.
Exemple 27.14 (Sélection sans mutation). On choisit α > 0 et β A = β B = 0.
Alors T 0,1 est fini p.s. et la probabilité de disparition de l’allèle B vaut
P x (Z T0,1 = 1) =
1 − e
−2αx
1 − e −2α .
La figure 27.3 propose une illustration de l’estimation de la probabilité de
fixation de l’allèle A. Si N = 10
5 , s = 10
−4 et x = 0, 5, alors α = 20 et
la probabilité de fixation de l’allèle A vaut environ 0, 999955. Ce faible avantage sélectif s, inobservable en laboratoire ou par des mesures statistiques,
est pourtant suffisant pour avoir un effet déterminant sur la fixation des allèles. Le calcul de l’espérance du temps de fixation est plus délicat. L’équation
différentielle suivante :