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27 Des chaînes de Markov aux processus de diffusion
lim
t→∞
E
M a,b (X t∧T a,b )
= E
M a,b (X T a,b )
= 0,
puisque M a,b est continue bornée sur [a, b] et nulle en a et b. On obtient ainsi
l’expression de E x (T a,b ).
De même, la formule d’Itô appliquée à p(X t ) donne
p(x) = E x
p(X T a,b )
= p(a)P x
X T a,b = a
+ p(b)P x
X T a,b = b
.
On conclut en utilisant la relation P x
X T a,b = a
+ P x
X T a,b = b
= 1.
27.4 Application aux processus de Wright-Fisher
Considérons le modèle de Wright-Fisher avec mutations et sélection introduit au chapitre 12. Il s’agit de la chaîne de Markov (X
N
n ) n∈N sur {0, . . . , N}
de transition
Loi(X
N
n+1 |X
N
n = x) = Bin(N, η x )
avec
η x = ψ x (1 − u A ) + (1 − ψ x )u B et ψ x =
(1 + s)x
(1 + s)x + N − x
.
Le réel s représente l’avantage sélectif de A sur B et u A est la probabilité de
mutation d’un allèle A vers un allèle B. La proportion d’allèles A dans une
population de taille N à la génération n est
Y
N
n :=
X
N
n
N
.
Pour tout t ∈ R + , posons
Z
N
t := Y
N
Nt .
Théorème 27.11 (Limite diffusive de Wright-Fisher). Supposons que les taux
de sélection s et de mutation u A et u B (qui dépendent de N ) soient tels que
(Ns, Nu A , Nu B ) −→
N →∞
(α, β A , β B ).
Alors la suite de processus (Z
N
· ) N 1 converge en loi vers le processus de diffusion (Z t ) t∈R+ solution de l’équation différentielle stochastique à valeurs dans
[0, 1] suivante :
dZ t = σ(Z t ) dB t + b(Z t ) dt,
où
σ
2 (z) = z(1 − z) et b(z) = αz(1 − z) − β A z + β B (1 − z).