27.2 Convergence d’une chaîne vers une diffusion
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Exemple 27.5 (Marche aléatoire et mouvement brownien). Soit S
N la
marche aléatoire sur Z définie par
S
N
n =
n
i=1
ε i
où (ε
N
i ) i1 est une suite de v.a. i.i.d. de loi p N δ 1 + (1 − p N )δ −1 . Dans ce cas,
— si p N = 1/2 alors (S
N
N ·· /
√
N )
N 1
converge en loi vers le mouvement
brownien issu de 0 ;
— si p N = p = 1/2 alors (S N ·· /N ) N 1 converge en loi vers le processus
déterministe t → (2p − 1)t ;
— si p N = 1/2 + α/(2
√
N ) alors (S N ·· /N ) N 1 converge en loi vers le
mouvement brownien avec dérive α issu de 0.
Le premier cas de l’exemple ci-dessous est une instance du théorème de
Donsker, analogue du théorème limite central pour les lois de processus.
Théorème 27.6 (Principe d’invariance de Donsker). Soit (Y n ) n1 une suite
de variables aléatoires i.i.d. centrées et de variance 1. Notons
X
N
t =
1
√
N
⎛
⎝
Nt
k=1
Y k − (Nt − −Nt)Y Nt+1
⎞
⎠ .
La suite de processus (X
N ) N 1 converge en loi vers le mouvement brownien.
Remarque 27.7 (Interpolation linéaire). Dans l’énoncé du théorème de
Donsker, les trajectoires de X
N sont construites par interpolation linéaire
entre les points d’abscisses multiples de 1/N . Cette précaution permet de
considérer la convergence de (X
N
t ) 0tT comme une variable aléatoire à valeurs dans C([0, T ]) muni de la norme infinie et de la tribu borélienne.
Exemple 27.8 (Chaîne d’Ehrenfest et processus d’Ornstein-Uhlenbeck).
Pour N 1, soit Z
N la chaîne d’Ehrenfest (voir chapitre 9) à valeurs dans
{0, . . . , N} dont la matrice de transition est donnée par
P(Z
N
1 = j|Z
N
0 = i) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
i/N
si j = i − 1,
1 − i/N si j = i + 1,
0
sinon.
On définit la chaîne (Y
N
n ) n0 à valeurs dans
E N =
−(1/2)
√
N + k/
√
N : 0 k N
en posant
Y
N
n =
√
N
Z
N
n
N
−
1
2
.