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27 Des chaînes de Markov aux processus de diffusion
(Z
N
t ) t∈[0,T ]
loi
−→
N →∞
(X t ) t∈[0,T ]
où (X t ) t∈[0,T ] est un processus de diffusion de loi initiale ν et de générateur A
donné par
Af (x) =
1
2
a(x)f
(x) + b(x)f
(x),
pour toute fonction f de classe C
2 à support compact.
Idée de preuve. Le semi-groupe (P t ) t∈R+ associé au générateur infinitésimal
A vérifie, pour toute fonction f de R dans R et classe C
2 à support compact
et tout t ∈ R + ,
P t f = f +
t
0
P s Af ds.
Pour tout N 1, notons A N = P N − I. Soit t > 0. Alors
P
Nt
N
f = f +
(N −1)t
i=0
P
i
N A N f = f +
1
N
(N −1)t
i=0
P
i
N (N A N )f
= f +
(N −1)t
i=0
(i+1)/N
i/N
P
i
N (N A N )f ds.
On obtient ainsi que, pour tout t ∈ R + ,
P
Nt
N
f = f +
t
0
P
Ns
N
(N A N )f ds.
Ainsi, la famille de mesures de probabilité (P
Nt
N
) t∈R+ est-elle liée à N A N
comme (P t ) t∈R+ l’est à A. De plus, si f est de classe C
2 à support compact,
N A N f (x) = N
(f (y) − f (x))P N (x, dy)
= b N (x)f
(x) +
1
2
a N (x)f
(x) + O(N P N (x, [x − 1, x + 1])).
Les hypothèses du théorème assurent que N A N f converge vers Af . Reste à
en déduire la convergence en loi des processus associés. Cette étape dépasse
le cadre de cet ouvrage. On trouvera dans la section 27.7 des références pour
la preuve complète de ce résultat.
Remarque 27.4 (Rien n’est simple). En pratique, la chaîne de Markov Y
N
est en général à valeurs dans un sous-ensemble I N discret et souvent fini de
R. Ainsi, son noyau de transition P N n’est-il pas défini sur tout R. Il faut
alors étendre sa définition à l’extérieur de I N de manière un peu artificielle.