27.2 Convergence d’une chaîne vers une diffusion
359
Les processus de Markov (X
1
n ) n∈N , (Y t ) t∈R+ et (Y
δ
n ) n∈N sont très liés :
les propriétés de récurrence et transience coïncident et ces processus ont les
mêmes lois invariantes. Cependant même si la chaîne (X
1
n ) n∈N est périodique,
ce n’est pas le cas pour (Y t ) t∈R+ et (Y
δ
t ) t∈R+ . En effet, on montre facilement
s’il existe n ∈ N tel que P x0 (X
1
n = x) > 0 alors P x0 (Y t = x) > 0 pour tout
t ∈ R + et P x0 (Y
δ
m = x) > 0 pour tout m ∈ N.
Remarque 27.1 (Bernoulli vers Poisson). Un processus de Bernoulli rendu
de plus en plus paresseux convenablement renormalisé en temps converge vers
un processus de Poisson. Ceci permet notamment de retrouver la loi des petits
nombres déjà croisée au chapitre 1.
Remarque 27.2 (Généalogie et paresse). Dans le chapitre 13, la chaîne à
temps discret décrivant le nombre de générations à remonter pour trouver
l’ancêtre commun le plus récent dans une population de taille N converge,
quand N → ∞, vers un processus de mort pur à temps continu de manière
semblable à la convergence des chaînes paresseuses.
27.2 Convergence d’une chaîne vers une diffusion
L’objet de cette section est d’énoncer un théorème assurant la convergence
en loi d’une suite de chaînes de Markov convenablement renormalisées en
temps et en espace vers un processus de diffusion dont les coefficients de
diffusion et de dérive sont explicites.
Théorème 27.3 (Approximation diffusive). Soit (P N ) N 1 une suite de
noyaux de transition sur R et posons
b N (x) = N
|y−x|1
(y − x)P N (x, dy)
et
a N (x) = N
|y−x|1
(y − x)
2 P N (x, dy).
Supposons qu’il existe deux fonctions a et b à valeurs dans ]0, +∞[ et R respectivement, bornées et de classe C
1 , et telles que pour tous r > 0 et ε > 0,
lim
N →∞
sup
|x|r
|b N (x) − b(x)| = 0, et
lim
N →∞
sup
|x|r
|a N (x) − a(x)| = 0
et
lim
N →∞
sup
|x|r
N P N (x, [x − ε, x + ε]) = 0.
Soit (Y
N
n ) n∈N la chaîne de Markov de noyau de transition P N et (Z
N
t ) t∈R+
le processus défini par Z
N
t = Y
N
Nt . Si (Y
N
0 ) N 1 converge en loi vers ν alors,
pour tout T > 0,
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Les processus de Markov (X
1
n ) n∈N , (Y t ) t∈R+ et (Y
δ
n ) n∈N sont très liés :
les propriétés de récurrence et transience coïncident et ces processus ont les
mêmes lois invariantes. Cependant même si la chaîne (X
1
n ) n∈N est périodique,
ce n’est pas le cas pour (Y t ) t∈R+ et (Y
δ
t ) t∈R+ . En effet, on montre facilement
s’il existe n ∈ N tel que P x0 (X
1
n = x) > 0 alors P x0 (Y t = x) > 0 pour tout
t ∈ R + et P x0 (Y
δ
m = x) > 0 pour tout m ∈ N.
Remarque 27.1 (Bernoulli vers Poisson). Un processus de Bernoulli rendu
de plus en plus paresseux convenablement renormalisé en temps converge vers
un processus de Poisson. Ceci permet notamment de retrouver la loi des petits
nombres déjà croisée au chapitre 1.
Remarque 27.2 (Généalogie et paresse). Dans le chapitre 13, la chaîne à
temps discret décrivant le nombre de générations à remonter pour trouver
l’ancêtre commun le plus récent dans une population de taille N converge,
quand N → ∞, vers un processus de mort pur à temps continu de manière
semblable à la convergence des chaînes paresseuses.
27.2 Convergence d’une chaîne vers une diffusion
L’objet de cette section est d’énoncer un théorème assurant la convergence
en loi d’une suite de chaînes de Markov convenablement renormalisées en
temps et en espace vers un processus de diffusion dont les coefficients de
diffusion et de dérive sont explicites.
Théorème 27.3 (Approximation diffusive). Soit (P N ) N 1 une suite de
noyaux de transition sur R et posons
b N (x) = N
|y−x|1
(y − x)P N (x, dy)
et
a N (x) = N
|y−x|1
(y − x)
2 P N (x, dy).
Supposons qu’il existe deux fonctions a et b à valeurs dans ]0, +∞[ et R respectivement, bornées et de classe C
1 , et telles que pour tous r > 0 et ε > 0,
lim
N →∞
sup
|x|r
|b N (x) − b(x)| = 0, et
lim
N →∞
sup
|x|r
|a N (x) − a(x)| = 0
et
lim
N →∞
sup
|x|r
N P N (x, [x − ε, x + ε]) = 0.
Soit (Y
N
n ) n∈N la chaîne de Markov de noyau de transition P N et (Z
N
t ) t∈R+
le processus défini par Z
N
t = Y
N
Nt . Si (Y
N
0 ) N 1 converge en loi vers ν alors,
pour tout T > 0,