27
Des chaînes de Markov aux processus de
diffusion
Mots-clés. Convergence de processus ; approximation par une diffusion ;
schéma d’Euler.
Outils. Martingale ; temps d’arrêt ; chaîne d’Ehrenfest ; chaîne de WrightFisher ; file d’attente M/M/∞ ; processus de Yule ; processus d’OrnsteinUhlenbeck ; mouvement brownien.
Difficulté. ***
Les résultats de convergence de processus sont très utiles et assez intuitifs
mais demandent un arsenal mathématique important qui dépasse le cadre
de ce livre. Ce chapitre présente un petit panorama, pour ne pas dire un
catalogue, des liens, résumées par le graphique 27.1, entre processus à espace
discret ou continu et à temps discret ou temps continu. Certains résultats ne
sont que partiellement démontrés ou même seulement énoncés mais la dernière
section renvoie à des ouvrages proposant d’aller plus loin.
27.1 Paresse et échantillonnage
Soit P une matrice de transition sur un espace d’états fini E et I la matrice
identité sur E. Pour tout N 1,
P N =
1 −
1
N
I +
1
N
P = I +
P − I
N
est une matrice de transition. La chaîne (X
N
n ) n∈N associée à P N reste en
un état i ∈ E pendant un temps aléatoire de loi géométrique de paramètre
(1 − P(i, i))/N puis, si cette probabilité n’est pas nulle, saute sur E\{i} avec
la mesure de probabilité proportionnelle à (P N (i, j)) j∈E\{i} . On dit que X
N
pour N 2 est une chaîne paresseuse associée à P. Une chaîne de ce type est
étudiée dans le chapitre 9 consacré au modèle d’Ehrenfest.
357
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_27
Des chaînes de Markov aux processus de
diffusion
Mots-clés. Convergence de processus ; approximation par une diffusion ;
schéma d’Euler.
Outils. Martingale ; temps d’arrêt ; chaîne d’Ehrenfest ; chaîne de WrightFisher ; file d’attente M/M/∞ ; processus de Yule ; processus d’OrnsteinUhlenbeck ; mouvement brownien.
Difficulté. ***
Les résultats de convergence de processus sont très utiles et assez intuitifs
mais demandent un arsenal mathématique important qui dépasse le cadre
de ce livre. Ce chapitre présente un petit panorama, pour ne pas dire un
catalogue, des liens, résumées par le graphique 27.1, entre processus à espace
discret ou continu et à temps discret ou temps continu. Certains résultats ne
sont que partiellement démontrés ou même seulement énoncés mais la dernière
section renvoie à des ouvrages proposant d’aller plus loin.
27.1 Paresse et échantillonnage
Soit P une matrice de transition sur un espace d’états fini E et I la matrice
identité sur E. Pour tout N 1,
P N =
1 −
1
N
I +
1
N
P = I +
P − I
N
est une matrice de transition. La chaîne (X
N
n ) n∈N associée à P N reste en
un état i ∈ E pendant un temps aléatoire de loi géométrique de paramètre
(1 − P(i, i))/N puis, si cette probabilité n’est pas nulle, saute sur E\{i} avec
la mesure de probabilité proportionnelle à (P N (i, j)) j∈E\{i} . On dit que X
N
pour N 2 est une chaîne paresseuse associée à P. Une chaîne de ce type est
étudiée dans le chapitre 9 consacré au modèle d’Ehrenfest.
357
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_27