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26 Modèles de diffusion cinétique
26.4 Pour aller plus loin
En 1828, un botaniste du nom de Robert Brown
2 rend compte de ses observations : une particule de pollen, observable au microscope, plongée dans
l’eau, contient des grains animés de mouvements aussi rapides qu’irréguliers.
La thèse qui s’est imposée au fil du temps est la suivante : le mouvement
serait lié aux chocs de la particule de pollen avec les molécules d’eau. Les travaux de Albert Einstein, en 1905, sont souvent présentés comme les premiers
pas mathématiques vers ce qui va devenir la théorie du mouvement brownien,
développée notamment par Norbert Wiener
3 et par Paul Lévy. Cependant,
un peu avant les travaux d’Einstein, et dans un tout autre contexte, Louis
Bachelier avait déjà obtenu, en 1900, la loi du mouvement brownien dans sa
thèse intitulée «Théorie de la spéculation», qui n’a eu que peu d’impact à
l’époque. Citons également les travaux de Marian Smoluchowski, contemporains de ceux d’Einstein. Le modèle étudié dans ce chapitre a été introduit
par Paul Langevin et perfectionné par Leonard Ornstein et George Uhlenbeck dans les années 1930. On trouvera dans l’ouvrage de Edward Nelson
[Nel67] la modélisation du début du chapitre, des perspectives historiques et
des prolongements mathématiques.
On peut généraliser le processus de Langevin, en sortant du monde confortable des processus gaussiens, en considérant la solution de l’équation différentielle stochastique suivante :
dX t = V t dt
dV t = −λV t dt − ∇U (X t )dt + σdB t ,
où la fonction U joue le rôle d’un potentiel de confinement (penser à une fonction convexe). Dans ce cas, la loi invariante s’écrit comme le produit de deux
mesures sur les espaces de position et de vitesse. Lorsque le mouvement brownien agit sur toutes les coordonnées, on parle de processus de diffusion non
dégénéré, l’équation aux dérivées partielles de Kolmogorov décrivant l’évolution de la loi du processus au temps t est dite elliptique et admet une solution
de classe C
∞ . Cependant, beaucoup d’équations d’évolution, comme les équations cinétiques décrivant la vitesse et la position d’une particule, sortent de
ce cadre. Lars Hörmander dans [Hör67] classifie les diffusions dégénérées dont
la loi au temps t est absolument continue de densité régulière.
Les résultats précis de convergence à l’équilibre pour ces processus sont
assez récents. L’article de Denis Talay [Tal02] fournit des estimations pour la
convergence de la densité de la loi au temps vers la densité de la loi invariante
dans des espaces L
p à poids. Les travaux de Cédric Villani [Vil06, Vil09]
proposent une autre approche via les inégalités fonctionnelles (inégalité de
Poincaré, inégalité de Sobolev logarithmique) et la théorie de Lars Hörmander
sur l’hypoellipticité.
2. Resté dans l’histoire pour cette découverte (anecdotique dans son œuvre).
3. On parle d’ailleurs également de processus de Wiener.
26 Modèles de diffusion cinétique
26.4 Pour aller plus loin
En 1828, un botaniste du nom de Robert Brown
2 rend compte de ses observations : une particule de pollen, observable au microscope, plongée dans
l’eau, contient des grains animés de mouvements aussi rapides qu’irréguliers.
La thèse qui s’est imposée au fil du temps est la suivante : le mouvement
serait lié aux chocs de la particule de pollen avec les molécules d’eau. Les travaux de Albert Einstein, en 1905, sont souvent présentés comme les premiers
pas mathématiques vers ce qui va devenir la théorie du mouvement brownien,
développée notamment par Norbert Wiener
3 et par Paul Lévy. Cependant,
un peu avant les travaux d’Einstein, et dans un tout autre contexte, Louis
Bachelier avait déjà obtenu, en 1900, la loi du mouvement brownien dans sa
thèse intitulée «Théorie de la spéculation», qui n’a eu que peu d’impact à
l’époque. Citons également les travaux de Marian Smoluchowski, contemporains de ceux d’Einstein. Le modèle étudié dans ce chapitre a été introduit
par Paul Langevin et perfectionné par Leonard Ornstein et George Uhlenbeck dans les années 1930. On trouvera dans l’ouvrage de Edward Nelson
[Nel67] la modélisation du début du chapitre, des perspectives historiques et
des prolongements mathématiques.
On peut généraliser le processus de Langevin, en sortant du monde confortable des processus gaussiens, en considérant la solution de l’équation différentielle stochastique suivante :
dX t = V t dt
dV t = −λV t dt − ∇U (X t )dt + σdB t ,
où la fonction U joue le rôle d’un potentiel de confinement (penser à une fonction convexe). Dans ce cas, la loi invariante s’écrit comme le produit de deux
mesures sur les espaces de position et de vitesse. Lorsque le mouvement brownien agit sur toutes les coordonnées, on parle de processus de diffusion non
dégénéré, l’équation aux dérivées partielles de Kolmogorov décrivant l’évolution de la loi du processus au temps t est dite elliptique et admet une solution
de classe C
∞ . Cependant, beaucoup d’équations d’évolution, comme les équations cinétiques décrivant la vitesse et la position d’une particule, sortent de
ce cadre. Lars Hörmander dans [Hör67] classifie les diffusions dégénérées dont
la loi au temps t est absolument continue de densité régulière.
Les résultats précis de convergence à l’équilibre pour ces processus sont
assez récents. L’article de Denis Talay [Tal02] fournit des estimations pour la
convergence de la densité de la loi au temps vers la densité de la loi invariante
dans des espaces L
p à poids. Les travaux de Cédric Villani [Vil06, Vil09]
proposent une autre approche via les inégalités fonctionnelles (inégalité de
Poincaré, inégalité de Sobolev logarithmique) et la théorie de Lars Hörmander
sur l’hypoellipticité.
2. Resté dans l’histoire pour cette découverte (anecdotique dans son œuvre).
3. On parle d’ailleurs également de processus de Wiener.