26.3 Comportement en temps long du processus confiné
353
W 2 (ν t , ν
t ) (c + dt)e
−ρt W 2 (ν 0 , ν
0 ),
avec
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
ρ =
λ −
λ 2 − 4μ
2
et d = 0 si λ > 2
√ μ,
ρ =
λ
2
si λ 2
√ μ.
Démonstration. On procède par couplage. Soit (Z 0 , Z
0 ) un couplage des lois
ν 0 et ν
0 indépendant du mouvement brownien (B t ) t0 . Notons
Z := (X t , V t ) t0 et Z
:= (X
t , V
t ) t0
les processus de Langevin confinés issus respectivement de Z 0 et Z
0 , et dirigés
par le même mouvement brownien (B t ) t0 . Notons
z t := Z t − Z
t .
Par linéarité de l’équation différentielle stochastique, la fonction t → z t dépend de (Z 0 , Z
0 ) mais pas de (B t ) t0 . En effet, elle est solution de l’équation
différentielle
⎧
⎨
⎩
d
dt
z t = Mz t
z 0 = Z 0 − Z
0
avec M =
0 1
−μ −λ
.
Ainsi, z t = e
tM z 0 . Les valeurs propres de la matrice M sont données par :
−
λ ±
λ 2 − 4μ
2
si λ 2
√ μ et −
λ
2
± i
4μ − λ 2
2
si λ < 2
√ μ.
Une décomposition de Dunford de M assure qu’il existe deux constantes c et
d telles que, pour tout t 0
|z t | (c + dt)e
−ρt
|z 0 |
où −ρ est la plus grande partie réelle des valeurs propres de M . En particulier,
W 2 (ν t , ν
t )
2
E
|Z t − Z
훀
t |
2
(c + dt)
2 e
−2ρt
E
|Z 0 − Z
훀
0 |
2
.
On conclut en considérant l’infimum sur tous les couplages de ν 0 et ν
0 :
inf
(Z0,Z
0 )
Z0∼ν0
Z
0 ∼ν
0
E(|Z 0 − Z
0 |
2 ) =: W 2 (ν 0 , ν
0 ).