352
26 Modèles de diffusion cinétique
qui peut s’obtenir à partir du générateur infinitésimal (lemme 26.7) en effectuant une intégration par parties. La structure de cette équation est intéressante : le membre de gauche est conservatif et décrit les trajectoires d’un
système dynamique dans R
2 associé à l’hamiltonien
(x, v) → μ
|x|
2
2
+ λ
|v|
2
2
,
tandis que le membre de droite est dissipatif mais n’agit que sur la variable
de vitesse. Notons h t (x, v) = u t (x, v)/π(x, v) où π(x, v) désigne par abus
de notation la densité de la loi invariante π au point (x, v) donnée par le
théorème 26.8. On vérifie que la fonction h est alors solution de l’équation
aux dérivées partielles (ÉDP) suivante :
∂ t h t + v · ∇ x h t − μx · ∇ v h t = Δ v h t − λv · ∇ v h t .
La variation d’entropie relative est donnée par
d
dt
Ent(π t |π) =
d
dt
h t log(h t )dπ =
∂ t h t (1 + log(h t )) dπ.
L’expression de π du théorème 26.8 et les intégrations par parties (IPP)
−
(v · ∇ x h t )(1 + log(h t )) dπ = −
v · ∇ x (h t log(h t )) dπ
IPP
= −λμ
(x · v)h t log(h t ) dπ
(μx · ∇ v h t )(1 + log(h t )) dπ =
μx · ∇ v (h t log(h t )) dπ
IPP
= λμ
(x · v)h t log(h t )dπ
(Δ v h t )(1 + log(h t )) dπ
IPP
= −
∇ v h t · ∇ v h t
h t
dπ
+ λ
(1 + log(h t ))∇ v h t · v dπ
fournissent le résultat annoncé.
L’obtention de bornes explicites pour la convergence exponentielle de
l’entropie relative demande beaucoup plus de travail que pour le processus
d’Ornstein-Uhlenbeck étudié au chapitre 25. Il est plus facile d’obtenir un résultat de convergence pour la distance de Wasserstein d’ordre 2 même si cette
quantité n’est pas une fonction décroissante du temps.
Théorème 26.11 (Convergence en distance de Wasserstein). Soit ν 0 et ν
0
deux mesures de probabilité sur R
2 possédant un moment d’ordre 2 fini. Notons
ν t (respectivement ν
t ) la loi de Z t lorsque Z 0 suit la loi ν 0 (respectivement ν
0 ).
Alors il existe des constantes c et d telles que
26 Modèles de diffusion cinétique
qui peut s’obtenir à partir du générateur infinitésimal (lemme 26.7) en effectuant une intégration par parties. La structure de cette équation est intéressante : le membre de gauche est conservatif et décrit les trajectoires d’un
système dynamique dans R
2 associé à l’hamiltonien
(x, v) → μ
|x|
2
2
+ λ
|v|
2
2
,
tandis que le membre de droite est dissipatif mais n’agit que sur la variable
de vitesse. Notons h t (x, v) = u t (x, v)/π(x, v) où π(x, v) désigne par abus
de notation la densité de la loi invariante π au point (x, v) donnée par le
théorème 26.8. On vérifie que la fonction h est alors solution de l’équation
aux dérivées partielles (ÉDP) suivante :
∂ t h t + v · ∇ x h t − μx · ∇ v h t = Δ v h t − λv · ∇ v h t .
La variation d’entropie relative est donnée par
d
dt
Ent(π t |π) =
d
dt
h t log(h t )dπ =
∂ t h t (1 + log(h t )) dπ.
L’expression de π du théorème 26.8 et les intégrations par parties (IPP)
−
(v · ∇ x h t )(1 + log(h t )) dπ = −
v · ∇ x (h t log(h t )) dπ
IPP
= −λμ
(x · v)h t log(h t ) dπ
(μx · ∇ v h t )(1 + log(h t )) dπ =
μx · ∇ v (h t log(h t )) dπ
IPP
= λμ
(x · v)h t log(h t )dπ
(Δ v h t )(1 + log(h t )) dπ
IPP
= −
∇ v h t · ∇ v h t
h t
dπ
+ λ
(1 + log(h t ))∇ v h t · v dπ
fournissent le résultat annoncé.
L’obtention de bornes explicites pour la convergence exponentielle de
l’entropie relative demande beaucoup plus de travail que pour le processus
d’Ornstein-Uhlenbeck étudié au chapitre 25. Il est plus facile d’obtenir un résultat de convergence pour la distance de Wasserstein d’ordre 2 même si cette
quantité n’est pas une fonction décroissante du temps.
Théorème 26.11 (Convergence en distance de Wasserstein). Soit ν 0 et ν
0
deux mesures de probabilité sur R
2 possédant un moment d’ordre 2 fini. Notons
ν t (respectivement ν
t ) la loi de Z t lorsque Z 0 suit la loi ν 0 (respectivement ν
0 ).
Alors il existe des constantes c et d telles que