26.2 Processus de Langevin confiné
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Fig. 26.1. Évolution des vecteurs moyenne (xt, vt) (en haut) et covariance (at, bt, ct)
(en bas) pour σ = 1, λ = 1 et μ = 10.
Comme d 0 = a 0 = 0, la dérivée de t → d t est nulle en 0. En itérant, on obtient
d
t = −2λd
t + 2σ
2 b t
d
(3)
t = −2λd
t + 2σ
2 (−μa t − λb t + c t )
d
(4)
t = −2λd
(3)
t + 2σ
2 (λμa t + (λ
2
− 4μ)b t − 3λc t ) + 2σ
4 .
En particulier, les trois premières dérivées de t → d t sont nulles en 0 et
d
(4)
0 = 2σ
4 . Donc le déterminant devient strictement positif pour t > 0 s’il est
nul à l’instant initial.
Remarque 26.6 (Hypoellipticité). Dans la preuve du lemme 26.5, on a
d t ∼
t∼0
2σ
4
4!
t
4 .
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Fig. 26.1. Évolution des vecteurs moyenne (xt, vt) (en haut) et covariance (at, bt, ct)
(en bas) pour σ = 1, λ = 1 et μ = 10.
Comme d 0 = a 0 = 0, la dérivée de t → d t est nulle en 0. En itérant, on obtient
d
t = −2λd
t + 2σ
2 b t
d
(3)
t = −2λd
t + 2σ
2 (−μa t − λb t + c t )
d
(4)
t = −2λd
(3)
t + 2σ
2 (λμa t + (λ
2
− 4μ)b t − 3λc t ) + 2σ
4 .
En particulier, les trois premières dérivées de t → d t sont nulles en 0 et
d
(4)
0 = 2σ
4 . Donc le déterminant devient strictement positif pour t > 0 s’il est
nul à l’instant initial.
Remarque 26.6 (Hypoellipticité). Dans la preuve du lemme 26.5, on a
d t ∼
t∼0
2σ
4
4!
t
4 .