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26 Modèles de diffusion cinétique
d
dt
x t
v t
= M
x t
v t
et
d
dt
⎛
⎝
a t
b t
c t
⎞
⎠ = N
⎛
⎝
a t
b t
c t
⎞
⎠ +
⎛
⎝
0
0
σ
2
⎞
⎠
où
M =
0 1
−μ −λ
et N =
⎛
⎝
0 2
0
−μ −λ 1
0 −2μ −2λ
⎞
⎠ .
Démonstration. Il s’agit d’une conséquence immédiate de la formule d’Itô.
Remarque 26.4 (Formules explicites). La matrice e
tM peut être explicitée :
— si λ
2 > 4μ, alors, en notant ω =
λ 2 − 4μ, α 1 = (−λ + ω)/2, et
α 2 = (−λ − ω)/2,
e
tM =
e
α2t
ω
−α 1 1
−μ α 2
+
e
α1t
ω
α 2 −1
μ −α 1
;
— si λ
2 = 4μ, alors
e
tM = e
−λt/2
1 − λt/2
t
−λ
2 t/4 1 + λt/2
;
— si λ
2
− 4μ < 0, alors, en notant ω =
μ − λ 2 /4,
e
tM = e
−λt/2
cos(ωt) +
λ sin(ωt)
2ω
sin(ωt)
ω
−
μ sin(ωt)
ω
cos(ωt) −
λ sin(ωt)
2ω
.
L’expression explicite de e
tN est beaucoup plus pénible à obtenir. On peut
toutefois remarquer que les valeurs propres de N ont toutes une partie réelle
strictement négative.
Les équations différentielles linéaires du lemme 26.3 sont simples à résoudre
numériquement (illustration donnée par la figure 26.1).
Lemme 26.5 (Densité de la loi à tout instant). Pour toute loi initiale et
tout instant t > 0, la loi du processus de Langevin confiné (X t , V t ) admet une
densité strictement positive sur R
2 .
Démonstration. Il suffit d’établir le résultat lorsque la loi initiale est une masse
de Dirac en un point (x, v), le cas général s’obtenant en conditionnant par la
valeur initiale. Si la loi initiale est une masse de Dirac, le couple (X t , V t ) est un
vecteur gaussien. Par suite, sa loi admet une densité strictement positive sur
R
2 si et seulement si le déterminant de sa matrice de covariance est strictement
positif. Pour simplifier, on suppose que (X 0 , V 0 ) = (0, 0). Le déterminant de
la matrice de covariance est alors donné par d t = a t c t − b
2
t avec les notations
du lemme 26.3. Donc
d
t = −2λ(a t c t − b
2
t ) + σ
2 a t = −2λd t + σ
2 a t .