26.2 Processus de Langevin confiné
345
Démonstration. Le processus (V t ) t0 est un processus d’Ornstein-Uhlenbeck,
étudié dans le chapitre 25. Le processus (V t ) t0 est donc gaussien, de moyenne
E(V t ) = e
−λt v 0 et de covariance
Cov(V t , V s ) =
σ
2
2λ
e
−λ|t−s|
− e
−λ(t+s)
.
À présent le processus X est gaussien car image du processus V par une
application linéaire : X t = x 0 +
t
0
V s ds.
Remarque 26.2 (Ordres de grandeur). La constante 1/λ, homogène à un
temps, est appelée temps de relaxation. Elle est en pratique de l’ordre de 10
−8
seconde. Ceci suggère qu’il est impossible de distinguer en pratique le processus
(X t ) t0 d’un mouvement brownien de variance σ
2 /λ
2 .
26.2 Processus de Langevin confiné
On modifie à présent légèrement le modèle de la section précédente. On
ajoute une force −μx qui provient de l’énergie potentielle x →
1
2 μx
2 . L’évolution du couple vitesse/position est alors donnée par le système suivant :
dX t = V t dt
dV t = −λV t dt − μX t dt + σdB t .
On dit que Z = (X, V ) est un processus de Langevin confiné
1 . On peut
réécrire le système sous la forme matricielle suivante :
Z t = Z 0 +
t
0
MZ s ds + σW t où M =
0 1
−μ −λ
et W t =
0
B t
.
La solution de cette équation linéaire est de la forme
Z t = e
tM Z 0 + σ
t
0
e
(t−s)M dW s .
Lemme 26.3 (Loi au temps t). Si (X 0 , V 0 ) est un vecteur gaussien, alors il
en est de même pour (X t , V t ) pour tout t 0. De plus, si on note, pour t 0,
x t = E(X t ), v t = E(V t ), a t = E(X
2
t ), b t = E(X t V t ) et c t = E(V
2
t ).
alors
(x t ) t0 , (v t ) t0 , (a t ) t0 , (b t ) t0 , et (c t ) t0
sont solutions des équations différentielles linéaires :
1. «Damped Langevin process» en anglais.
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Démonstration. Le processus (V t ) t0 est un processus d’Ornstein-Uhlenbeck,
étudié dans le chapitre 25. Le processus (V t ) t0 est donc gaussien, de moyenne
E(V t ) = e
−λt v 0 et de covariance
Cov(V t , V s ) =
σ
2
2λ
e
−λ|t−s|
− e
−λ(t+s)
.
À présent le processus X est gaussien car image du processus V par une
application linéaire : X t = x 0 +
t
0
V s ds.
Remarque 26.2 (Ordres de grandeur). La constante 1/λ, homogène à un
temps, est appelée temps de relaxation. Elle est en pratique de l’ordre de 10
−8
seconde. Ceci suggère qu’il est impossible de distinguer en pratique le processus
(X t ) t0 d’un mouvement brownien de variance σ
2 /λ
2 .
26.2 Processus de Langevin confiné
On modifie à présent légèrement le modèle de la section précédente. On
ajoute une force −μx qui provient de l’énergie potentielle x →
1
2 μx
2 . L’évolution du couple vitesse/position est alors donnée par le système suivant :
dX t = V t dt
dV t = −λV t dt − μX t dt + σdB t .
On dit que Z = (X, V ) est un processus de Langevin confiné
1 . On peut
réécrire le système sous la forme matricielle suivante :
Z t = Z 0 +
t
0
MZ s ds + σW t où M =
0 1
−μ −λ
et W t =
0
B t
.
La solution de cette équation linéaire est de la forme
Z t = e
tM Z 0 + σ
t
0
e
(t−s)M dW s .
Lemme 26.3 (Loi au temps t). Si (X 0 , V 0 ) est un vecteur gaussien, alors il
en est de même pour (X t , V t ) pour tout t 0. De plus, si on note, pour t 0,
x t = E(X t ), v t = E(V t ), a t = E(X
2
t ), b t = E(X t V t ) et c t = E(V
2
t ).
alors
(x t ) t0 , (v t ) t0 , (a t ) t0 , (b t ) t0 , et (c t ) t0
sont solutions des équations différentielles linéaires :
1. «Damped Langevin process» en anglais.