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26 Modèles de diffusion cinétique
vitesse de la particule. Elle s’écrit donc −λV t puisqu’elle s’oppose au mouvement. La modélisation de l’effet des chocs des molécules d’eau demande un
peu plus d’attention. Entre les instants t et t + α avec α grand dans l’échelle
de temps microscopique, la particule subit un nombre de chocs Nα où N , le
nombre de chocs par unité de temps, est supposé très grand. On adopte une
approche «statistique» ou «stochastique» et on modélise les chocs par des variables aléatoires (ε i ) i1 indépendantes et identiquement distribuées centrées
de variance τ
2 . On pose σ
2 = Nτ
2 . La force exercée pendant la durée α vaut
Nα
i=1
ε i =
√
σ 2 α
1
√
τ 2 Nα
Nα
i=1
ε i
Y
.
Si Nα est grand, le théorème limite central suggère que la loi de Y est proche
d’une loi gaussienne centrée réduite. De plus, les forces aléatoires exercées sur
les intervalles de temps disjoints sont dues à des molécules d’eau différentes car
elles se déplacent beaucoup moins que la particule. On peut donc les supposer
indépendantes. En conclusion, il paraît naturel de modéliser l’action des chocs
par un processus à accroissements indépendants et stationnaires dont la loi
d’un accroissement entre deux instants t et t + α est gaussienne centrée de
variance σ
2 α. Ce processus est le mouvement brownien (σB t ) t0 . On retrouve
ici l’idée du théorème de Donsker (voir le théorème 27.6). Comme la vitesse
est la dérivée de la position, on obtient le système :
dX t = V t dt
dV t = −λV t dt + σdB t .
On dit qu’il s’agit d’une équation cinétique car elle fait intervenir simultanément la position et la vitesse de la particule. Dans tout le chapitre, on notera
(Z t ) t0 le processus complet défini par Z t = (X t , V t ) pour t 0.
Théorème 26.1 (Processus de Langevin). Conditionnellement à l’événement
{(X 0 , V 0 ) = (x 0 , v 0 )}, le processus (Z t ) t0 est un processus gaussien tel que
E(X t ) = x 0 +
1 − e
−λt
λ
v 0
Cov(X t , X s ) =
σ
2 s
λ 2 +
σ
2
2λ 3
−2 + 2e
−λt + 2e
−λs
− e
−λ|t−s|
− e
−λ(t+s)
.
En particulier, la variance de X t est donnée par
Var(X t ) =
σ
2 t
λ 2 +
σ
2
2λ 3
−3 + 4e
−λt
− e
−2λt
.
L’évolution de la vitesse ne dépend pas de la position.
26 Modèles de diffusion cinétique
vitesse de la particule. Elle s’écrit donc −λV t puisqu’elle s’oppose au mouvement. La modélisation de l’effet des chocs des molécules d’eau demande un
peu plus d’attention. Entre les instants t et t + α avec α grand dans l’échelle
de temps microscopique, la particule subit un nombre de chocs Nα où N , le
nombre de chocs par unité de temps, est supposé très grand. On adopte une
approche «statistique» ou «stochastique» et on modélise les chocs par des variables aléatoires (ε i ) i1 indépendantes et identiquement distribuées centrées
de variance τ
2 . On pose σ
2 = Nτ
2 . La force exercée pendant la durée α vaut
Nα
i=1
ε i =
√
σ 2 α
1
√
τ 2 Nα
Nα
i=1
ε i
Y
.
Si Nα est grand, le théorème limite central suggère que la loi de Y est proche
d’une loi gaussienne centrée réduite. De plus, les forces aléatoires exercées sur
les intervalles de temps disjoints sont dues à des molécules d’eau différentes car
elles se déplacent beaucoup moins que la particule. On peut donc les supposer
indépendantes. En conclusion, il paraît naturel de modéliser l’action des chocs
par un processus à accroissements indépendants et stationnaires dont la loi
d’un accroissement entre deux instants t et t + α est gaussienne centrée de
variance σ
2 α. Ce processus est le mouvement brownien (σB t ) t0 . On retrouve
ici l’idée du théorème de Donsker (voir le théorème 27.6). Comme la vitesse
est la dérivée de la position, on obtient le système :
dX t = V t dt
dV t = −λV t dt + σdB t .
On dit qu’il s’agit d’une équation cinétique car elle fait intervenir simultanément la position et la vitesse de la particule. Dans tout le chapitre, on notera
(Z t ) t0 le processus complet défini par Z t = (X t , V t ) pour t 0.
Théorème 26.1 (Processus de Langevin). Conditionnellement à l’événement
{(X 0 , V 0 ) = (x 0 , v 0 )}, le processus (Z t ) t0 est un processus gaussien tel que
E(X t ) = x 0 +
1 − e
−λt
λ
v 0
Cov(X t , X s ) =
σ
2 s
λ 2 +
σ
2
2λ 3
−2 + 2e
−λt + 2e
−λs
− e
−λ|t−s|
− e
−λ(t+s)
.
En particulier, la variance de X t est donnée par
Var(X t ) =
σ
2 t
λ 2 +
σ
2
2λ 3
−3 + 4e
−λt
− e
−2λt
.
L’évolution de la vitesse ne dépend pas de la position.