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Modèles de diffusion cinétique
Mots-clés. Diffusion ; mouvement brownien ; équation cinétique ; équation
aux dérivées partielles ; équation différentielle stochastique linéaire.
Outils. Vecteur gaussien ; distance de Wasserstein ; entropie relative.
Difficulté. ***
26.1 Modèle de Langevin
On considère une particule de poussière dans un fluide comme l’eau. La
particule est énorme par rapport aux molécules du fluide. L’échelle de taille de
la particule est dite macroscopique : ses mouvements peuvent être observés,
au moins à l’aide d’une bonne loupe, et mesurés. Les molécules qui composent
le fluide sont quant à elles beaucoup trop petites et surtout beaucoup trop
nombreuses pour être observées une à une. Elles se situent à une échelle dite
microscopique. À chaque instant, d’innombrables chocs ont lieu entre la particule et les molécules qui l’entourent. Ces chocs se répartissent en moyenne de
manière uniforme sur la surface de la particule. Pourtant à un instant donné
il peut y avoir des déviations par rapport à cette répartition uniforme. On
recherche un modèle pour l’évolution du couple position/vitesse (X t , V t ) de la
particule au temps t qui découle du principe fondamental de la dynamique.
Les forces qui s’exercent sur la particule sont les suivantes :
— le poids de la particule ;
— la poussée d’Archimède ;
— la force de frottement qui s’oppose au déplacement de la particule ;
— la résultante des chocs de molécules d’eau.
Le poids de la particule et la poussée d’Archimède se compensent et nous
négligerons leur résultante en considérant l’évolution horizontale seulement.
On suppose que l’intensité de la force de frottement est proportionnelle à la
343
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_26
Modèles de diffusion cinétique
Mots-clés. Diffusion ; mouvement brownien ; équation cinétique ; équation
aux dérivées partielles ; équation différentielle stochastique linéaire.
Outils. Vecteur gaussien ; distance de Wasserstein ; entropie relative.
Difficulté. ***
26.1 Modèle de Langevin
On considère une particule de poussière dans un fluide comme l’eau. La
particule est énorme par rapport aux molécules du fluide. L’échelle de taille de
la particule est dite macroscopique : ses mouvements peuvent être observés,
au moins à l’aide d’une bonne loupe, et mesurés. Les molécules qui composent
le fluide sont quant à elles beaucoup trop petites et surtout beaucoup trop
nombreuses pour être observées une à une. Elles se situent à une échelle dite
microscopique. À chaque instant, d’innombrables chocs ont lieu entre la particule et les molécules qui l’entourent. Ces chocs se répartissent en moyenne de
manière uniforme sur la surface de la particule. Pourtant à un instant donné
il peut y avoir des déviations par rapport à cette répartition uniforme. On
recherche un modèle pour l’évolution du couple position/vitesse (X t , V t ) de la
particule au temps t qui découle du principe fondamental de la dynamique.
Les forces qui s’exercent sur la particule sont les suivantes :
— le poids de la particule ;
— la poussée d’Archimède ;
— la force de frottement qui s’oppose au déplacement de la particule ;
— la résultante des chocs de molécules d’eau.
Le poids de la particule et la poussée d’Archimède se compensent et nous
négligerons leur résultante en considérant l’évolution horizontale seulement.
On suppose que l’intensité de la force de frottement est proportionnelle à la
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_26