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25 Processus d’Ornstein-Uhlenbeck
U une fonction sur R
d à valeurs réelles de classe C
2 et (B t ) t0 un mouvement brownien standard à valeurs dans R
d . On appelle équation de Langevin
l’équation différentielle stochastique suivante :
dX t =
√
2dB t − ∇U (X t )dt.
La solution (X t ) t0 de cette équation différentielle stochastique est appelée processus de diffusion de Kolmogorov associée au potentiel U . Comme
le processus d’Ornstein-Uhlenbeck, c’est un processus de Markov. La version
intégrale de l’équation différentielle stochastique s’écrit
X t = X 0 +
√
2B t −
t
0
∇U (X s ) ds.
Son générateur infinitésimal L est donné pour une fonction f de classe C
2 par
Lf = Δf − −∇U, ∇f .
Si e
−U est intégrable alors la mesure de probabilité
μ(dx) =
1
Z
e
−U (x) dx avec Z =
e
−U (x) dx,
est la loi invariante associée à X. L’opérateur L est même auto-adjoint dans
L
2 (μ). La décomposition spectrale du semi-groupe associé n’est pas explicite
au-delà du cas gaussien, mais il est encore possible d’obtenir des analogues
des théorèmes 25.10 ou 25.19 en procédant par comparaison au cas gaussien.
On peut par exemple montrer que s’il existe λ > 0 tel que
∀x ∈ R
d , Hess U (x) λI,
ce qui revient à dire que μ a une densité log-concave par rapport à la mesure
de probabilité gaussienne centrée de covariance λ
−1 I d , alors pour tout t 0,
Ent(μ t | μ) e
−2λt Ent(μ 0 | μ)
où μ t est la loi de X t . C’est un cas particulier du critère dit de Γ 2 établi par
Dominique Bakry et Michel Émery [BÉ85]. Les processus de Kolmogorov sont
étudiés en détail dans les livres de Gilles Royer [Roy99], de Dominique Bakry,
Ivan Gentil, et Michel Ledoux [BGL14], et dans l’ouvrage collectif [ABC
+ 00].
Signalons que le théorème 25.14 possède une extension au cas multivarié.
Plus précisément, si μ 1 = N d (m 1 , Σ 1 ) et μ 2 = N d (m 2 , Σ 2 ) sur R
d alors
W 2 (μ 1 , μ 2 )
2 = m 1 − m 2
2
2 + Tr(Σ 1 + Σ 2 − 2(Σ
1/2
1 Σ 2 Σ
1/2
1 )
1/2 ).
Lorsque Σ 1 et Σ 2 commutent le dernier membre de la formule ci-dessus se
résume à
, ce qui ressemble bien à la formule de dimenΣ 1 et Σ 2 sont inversibles
alors
Ent(μ 1 | μ 2 ) =
1
2
log
det Σ 2
det Σ 1
+ Tr (Σ
−1
2 Σ 1 ) − d + (m 1 − m 2 )
T Σ
−1
2 (m 1 − m 2 )
.
√
Σ 1 −
√
Σ 2 2
HS
sion 1. D’autre part, si les matrices de covariance
25 Processus d’Ornstein-Uhlenbeck
U une fonction sur R
d à valeurs réelles de classe C
2 et (B t ) t0 un mouvement brownien standard à valeurs dans R
d . On appelle équation de Langevin
l’équation différentielle stochastique suivante :
dX t =
√
2dB t − ∇U (X t )dt.
La solution (X t ) t0 de cette équation différentielle stochastique est appelée processus de diffusion de Kolmogorov associée au potentiel U . Comme
le processus d’Ornstein-Uhlenbeck, c’est un processus de Markov. La version
intégrale de l’équation différentielle stochastique s’écrit
X t = X 0 +
√
2B t −
t
0
∇U (X s ) ds.
Son générateur infinitésimal L est donné pour une fonction f de classe C
2 par
Lf = Δf − −∇U, ∇f .
Si e
−U est intégrable alors la mesure de probabilité
μ(dx) =
1
Z
e
−U (x) dx avec Z =
e
−U (x) dx,
est la loi invariante associée à X. L’opérateur L est même auto-adjoint dans
L
2 (μ). La décomposition spectrale du semi-groupe associé n’est pas explicite
au-delà du cas gaussien, mais il est encore possible d’obtenir des analogues
des théorèmes 25.10 ou 25.19 en procédant par comparaison au cas gaussien.
On peut par exemple montrer que s’il existe λ > 0 tel que
∀x ∈ R
d , Hess U (x) λI,
ce qui revient à dire que μ a une densité log-concave par rapport à la mesure
de probabilité gaussienne centrée de covariance λ
−1 I d , alors pour tout t 0,
Ent(μ t | μ) e
−2λt Ent(μ 0 | μ)
où μ t est la loi de X t . C’est un cas particulier du critère dit de Γ 2 établi par
Dominique Bakry et Michel Émery [BÉ85]. Les processus de Kolmogorov sont
étudiés en détail dans les livres de Gilles Royer [Roy99], de Dominique Bakry,
Ivan Gentil, et Michel Ledoux [BGL14], et dans l’ouvrage collectif [ABC
+ 00].
Signalons que le théorème 25.14 possède une extension au cas multivarié.
Plus précisément, si μ 1 = N d (m 1 , Σ 1 ) et μ 2 = N d (m 2 , Σ 2 ) sur R
d alors
W 2 (μ 1 , μ 2 )
2 = m 1 − m 2
2
2 + Tr(Σ 1 + Σ 2 − 2(Σ
1/2
1 Σ 2 Σ
1/2
1 )
1/2 ).
Lorsque Σ 1 et Σ 2 commutent le dernier membre de la formule ci-dessus se
résume à
, ce qui ressemble bien à la formule de dimenΣ 1 et Σ 2 sont inversibles
alors
Ent(μ 1 | μ 2 ) =
1
2
log
det Σ 2
det Σ 1
+ Tr (Σ
−1
2 Σ 1 ) − d + (m 1 − m 2 )
T Σ
−1
2 (m 1 − m 2 )
.
√
Σ 1 −
√
Σ 2 2
HS
sion 1. D’autre part, si les matrices de covariance