25.5 Pour aller plus loin
341
D’après le théorème 25.7 et le théorème 25.5, on a
d
dt
v t log(v t )dγ =
∂ t v t (1 + log(v t ))dγ
=
Av t (1 + log(v t ))dγ
=
v t A(1 + log(v t ))dγ.
Or, pour toute fonction régulière g, un calcul direct montre que
A(1 + log(g)) =
Ag
g
−
g
2
g 2 .
D’après la propriété d’invariance de γ, on a
Ag dγ = 0. On a donc
d
dt
Ent(μ t | γ) = −
(∂ x v t )
2
v t
dγ,
ce qui prouve la décroissante de t → Ent(μ t | γ). De plus, l’inégalité de Sobolev
logarithmique appliquée à la fonction v t assure que
d
dt
Ent(μ t | γ) −2Ent(μ t | γ).
Le lemme de Grönwall
3 fournit enfin la relation souhaitée.
Remarque 25.20 (Effet régularisant). Le théorème 25.7 assure que même
si la loi de X 0 n’a pas de densité, la loi de X t a toujours une densité dès que
t > 0. On peut donc appliquer le théorème 25.19 entre les instants t 0 > 0 et t
pour obtenir la convergence exponentielle de l’entropie relative vers 0.
25.5 Pour aller plus loin
Tout ce qui concerne le processus d’Ornstein-Uhlenbeck se trouve dans les
premières pages du cours de Dominique Bakry [Bak94]. L’expression de la distance de Wasserstein entre deux mesures gaussiennes dans le théorème 25.14
est établie notamment dans un article [GS84] de Clark Givens et Rae Shortt.
Le processus d’Ornstein-Uhlenbeck est l’illustre représentant d’une importante classe de processus stochastiques : les diffusions de Kolmogorov. Soit
3. Si t ∈ [a, b] → α(t) ∈ R+ est une fonction continue et dérivable sur ]a, b[ et
si t ∈ [a, b] → β(t) ∈ R+ est une fonction continue et si α
(t) β(t)α(t) pour tout
t ∈ ]a, b[ alors α(t) α(a) exp
t
a
β(s) ds
pour tout t ∈ [a, b].
341
D’après le théorème 25.7 et le théorème 25.5, on a
d
dt
v t log(v t )dγ =
∂ t v t (1 + log(v t ))dγ
=
Av t (1 + log(v t ))dγ
=
v t A(1 + log(v t ))dγ.
Or, pour toute fonction régulière g, un calcul direct montre que
A(1 + log(g)) =
Ag
g
−
g
2
g 2 .
D’après la propriété d’invariance de γ, on a
Ag dγ = 0. On a donc
d
dt
Ent(μ t | γ) = −
(∂ x v t )
2
v t
dγ,
ce qui prouve la décroissante de t → Ent(μ t | γ). De plus, l’inégalité de Sobolev
logarithmique appliquée à la fonction v t assure que
d
dt
Ent(μ t | γ) −2Ent(μ t | γ).
Le lemme de Grönwall
3 fournit enfin la relation souhaitée.
Remarque 25.20 (Effet régularisant). Le théorème 25.7 assure que même
si la loi de X 0 n’a pas de densité, la loi de X t a toujours une densité dès que
t > 0. On peut donc appliquer le théorème 25.19 entre les instants t 0 > 0 et t
pour obtenir la convergence exponentielle de l’entropie relative vers 0.
25.5 Pour aller plus loin
Tout ce qui concerne le processus d’Ornstein-Uhlenbeck se trouve dans les
premières pages du cours de Dominique Bakry [Bak94]. L’expression de la distance de Wasserstein entre deux mesures gaussiennes dans le théorème 25.14
est établie notamment dans un article [GS84] de Clark Givens et Rae Shortt.
Le processus d’Ornstein-Uhlenbeck est l’illustre représentant d’une importante classe de processus stochastiques : les diffusions de Kolmogorov. Soit
3. Si t ∈ [a, b] → α(t) ∈ R+ est une fonction continue et dérivable sur ]a, b[ et
si t ∈ [a, b] → β(t) ∈ R+ est une fonction continue et si α
(t) β(t)α(t) pour tout
t ∈ ]a, b[ alors α(t) α(a) exp
t
a
β(s) ds
pour tout t ∈ [a, b].