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26 Modèles de diffusion cinétique
Pour une diffusion sur R
2 avec un bruit brownien non dégénéré, le déterminant serait de l’ordre de t
2 . Ce décalage est dû au fait que seule la composante
des vitesses est perturbée par un mouvement brownien. Cependant, la structure subtile du coefficient de dérive dans l’équation du processus de Langevin
confiné assure que ce bruit se propage sur les deux composantes et que la loi
du couple (X t , V t ) a une densité dès que t > 0. Il s’agit d’un cas particulier
du phénomène d’hypoellipticité, étudié dans un cadre général par Hörmander
puis par Malliavin notamment.
La figure 26.2 illustre l’apparition de densité lorsque la loi initiale est une
mesure de Dirac sur R
2 au travers de l’évolution temporelle du déterminant de
la matrice de covariance. Il converge notamment vers celui de la loi invariante
qui vaut σ
4 /(4λ
2 μ).
26.3 Comportement en temps long du processus confiné
Comme pour le processus d’Ornstein-Uhlenbeck, on associe au processus
de Langevin confiné Z = (X, V ) un semi-groupe (Q t ) t0 , donné pour t 0,
z ∈ R
2 , et f régulière par
Q t f (z) = E(f (Z t )|Z 0 = z).
Lemme 26.7 (Générateur infinitésimal). Si f est une fonction de classe C
∞
sur R
2 et à support compact, alors pour tout t 0 et z ∈ R
2 ,
∂ t Q t f (z) = Q t (Af )(z)
où, avec la notation z = (x, v),
Af (x, v) = v · ∇ x f (x, v) − (μx + λv) · ∇ v f (x, v) +
σ
2
2
Δ v f (x, v).
Démonstration. On applique la formule d’Itô à f avec Z 0 = z :
f (Z t ) = f (z) +
t
0
Af (Z s ) ds + M t ,
où (M t ) t0 est une martingale. Ainsi,
lim
t→0
Q t f (z) − f (z)
t
= Af (z).
La propriété de Markov fournit la relation à tout temps t 0.
Théorème 26.8 (Loi invariante). La mesure de probabilité gaussienne produit
π = N
0,
σ
2
2λμ
⊗ N
0,
σ
2
2λ
26 Modèles de diffusion cinétique
Pour une diffusion sur R
2 avec un bruit brownien non dégénéré, le déterminant serait de l’ordre de t
2 . Ce décalage est dû au fait que seule la composante
des vitesses est perturbée par un mouvement brownien. Cependant, la structure subtile du coefficient de dérive dans l’équation du processus de Langevin
confiné assure que ce bruit se propage sur les deux composantes et que la loi
du couple (X t , V t ) a une densité dès que t > 0. Il s’agit d’un cas particulier
du phénomène d’hypoellipticité, étudié dans un cadre général par Hörmander
puis par Malliavin notamment.
La figure 26.2 illustre l’apparition de densité lorsque la loi initiale est une
mesure de Dirac sur R
2 au travers de l’évolution temporelle du déterminant de
la matrice de covariance. Il converge notamment vers celui de la loi invariante
qui vaut σ
4 /(4λ
2 μ).
26.3 Comportement en temps long du processus confiné
Comme pour le processus d’Ornstein-Uhlenbeck, on associe au processus
de Langevin confiné Z = (X, V ) un semi-groupe (Q t ) t0 , donné pour t 0,
z ∈ R
2 , et f régulière par
Q t f (z) = E(f (Z t )|Z 0 = z).
Lemme 26.7 (Générateur infinitésimal). Si f est une fonction de classe C
∞
sur R
2 et à support compact, alors pour tout t 0 et z ∈ R
2 ,
∂ t Q t f (z) = Q t (Af )(z)
où, avec la notation z = (x, v),
Af (x, v) = v · ∇ x f (x, v) − (μx + λv) · ∇ v f (x, v) +
σ
2
2
Δ v f (x, v).
Démonstration. On applique la formule d’Itô à f avec Z 0 = z :
f (Z t ) = f (z) +
t
0
Af (Z s ) ds + M t ,
où (M t ) t0 est une martingale. Ainsi,
lim
t→0
Q t f (z) − f (z)
t
= Af (z).
La propriété de Markov fournit la relation à tout temps t 0.
Théorème 26.8 (Loi invariante). La mesure de probabilité gaussienne produit
π = N
0,
σ
2
2λμ
⊗ N
0,
σ
2
2λ