25.4 Inégalité de Sobolev logarithmique
339
(N t |f
|)
2 =
N t
|f
|
√
f
f
2
N t
f
2
f
N t (f ).
Ainsi, on obtient, grâce à la relation de semi-groupe, la majoration suivante
β
(s) e
−2(t−s) N t
f
2
f
.
Une intégration entre 0 et t assure que, pour tout t 0 et tout x ∈ R, la
mesure de probabilité N t (·)(x) = N (xe
−t , 1 − e
−2t ) vérifie une inégalité de
Sobolev logarithmique de constante (1 − e
−2t )/2. Pour conclure, on remarque
que si ν vérifie une inégalité de Sobolev logarithmique de constante c alors la
mesure image de ν par x → ax + b vérifie une inégalité de Sobolev logarithmique de constance a
2 c. On remarque enfin que les fonctions x → e
λx saturent
l’inégalité de Sobolev logarithmique : la constante 1/2 est optimale.
Remarque 25.17 (Preuve alternative). Voici une preuve alternative unifiée
de l’inégalité de Poincaré du corollaire 25.13 et de l’inégalité de Sobolev logarithmiques du théorème 25.16. Elle utilise la convexité remarquable de la
fonction (u, v) → Ψ (u, v) = Φ
(u)v
2 , avec Φ(u) = u
2 pour l’inégalité de Poincaré, et Φ(u) = u log(u) pour l’inégalité de Sobolev logarithmique.
N t (Φ(f )) − Φ(N t f ) =
t
0
d
ds
N s (Φ(N t−s f )) ds
=
t
0
N s (A(Φ(N t−s f )) − AN t−s (Φ
(N t−s f ))) ds
=
t
0
N s (Φ
(N t−s f )(N t−s f )
2 ) ds
=
t
0
e
−2s N s (Φ
(N t−s f )(N t−s (f
))
2 ) ds
=
t
0
e
−2s N s (Ψ (N t−s f, N t−s (f
)) ds
t
0
e
−2s N s (N t−s (Ψ (f, f
))) ds
= N t (Ψ (f, f
))
t
0
e
−2s ds
=
1
2
N t (Ψ (f, f
)).
Voici enfin encore une autre preuve, dont les commutations sont à justifier :
Φ(f ) dγ − Φ
f dγ
= −
lim
t→∞
(Φ(N t ) − Φ(N 0 f ))
dγ
= −
lim
t→∞
t
0
d
ds
Φ(N s f ) ds
dγ