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25 Processus d’Ornstein-Uhlenbeck
25.4 Inégalité de Sobolev logarithmique
On dit qu’une mesure de probabilité μ sur R vérifie une inégalité de Sobolev logarithmique de constante c > 0 si, pour toute fonction f : R → R de
classe C
1 positive et à support compact,
Ent μ (f ) :=
f log(f ) dμ −
f dμ log
f dμ
c
f
2
f
dμ.
La constante c optimale est la plus petite constante possible. Notons que
E μ (f )Ent μ (f ) = Ent(ν | μ) où dν =
f
E μ (f )
dμ.
Théorème 25.16 (Inégalité de Sobolev logarithmique gaussienne). La mesure gaussienne standard γ vérifie une inégalité de Sobolev logarithmique de
constante optimale 1/2.
Démonstration. On procède comme dans la seconde preuve de l’inégalité de
Poincaré du corollaire 25.13. Soit t 0 et f régulière. On définit β : [0, t] → R
par
β(s) = N s (Φ(N t−s f )) où Φ(x) = x log(x).
Dans la suite, on notera g = N t−s f . Remarquons que
β(t) − β(0) = N t (Φ(f )) − Φ(N t f ) = Ent Nt(·) (f ).
D’autre part, grâce au théorème 25.4, on a, par un calcul,
β
(s) = N s (A(Φ(g)) − AgΦ
(g)).
Un calcul direct montre que
A(Φ(g)) − AgΦ
(g) = Φ
(g)g
2 =
g
2
g
.
On a donc
β
(s) = N s
(N t−s f )
2
N t−s f
.
Par la formule de Mehler, le semi-groupe vérifie la relation de commutation
(N t f )
= e
−t N t (f
),
qui fournit l’expression suivante pour β
(s) :
β
(s) = e
−2(t−s) N s
(N t−s (|f
|))
2
N t−s f
.
L’inégalité de Schwarz assure que