25.3 Entropie, couplage, et temps long
337
=
log
σ 2
σ 1
−
(x − m 1 )
2
2σ 2
1
+
(x − m 2 )
2
2σ 2
2
μ 1 (dx)
= log
σ 2
σ 1
−
1
2
+
σ
2
1 + m
2
1 − 2m 1 m 2 + m
2
2
2σ 2
2
= log
훀
σ 2
σ 1
+
σ
2
1 − σ
2
2 + (m 1 − m 2 )
2
2σ 2
2
.
Puisque le processus d’Ornstein-Uhlenbeck est gaussien, le théorème précédent fournit une expression explicite de la distance entre les deux lois
au temps t issues de deux lois gaussiennes différentes. Plus précisément,
pour tous x 1 , x 2 et t 0, on obtient, en utilisant le théorème 25.14 avec
μ 1 = N t (·)(x 1 ) = N (x 1 e
−t , 1 − e
−2t ) et μ 2 = N t (·)(x 2 ) = N (x 2 e
−t , 1 − e
−2t ),
W 2 (N t (·)(x 1 ), N t (·)(x 2 ))
2 = e
−2t (x 1 − x 2 )
2
t→∞
0
et
Ent(N t (·)(x 1 ), N t (·)(x 2 )) =
e
−2t (x 1 − x 2 )
2
2(1 − e −2t )
t→∞
0.
Ces résultats s’étendent à des lois initiales plus générales. Le cas de la distance
de Wasserstein est simple, celui de l’entropie fait l’objet de la section suivante.
Théorème 25.15 (Convergence en distance de Wasserstein). Si μ 0 et μ
0 sont
deux mesures de probabilité de moment d’ordre 2 fini, et si μ t (resp. μ
t ) est la
loi de X t (resp. X
t ) lorsque X 0 ∼ μ 0 (resp. X
0 ∼ μ
0 ), alors pour tout t 0,
W 2 (μ t , μ
t ) e
−t W 2 (μ 0 , μ
0 ).
En particulier, si μ
0 = γ alors pour tout t 0,
W 2 (μ t , γ) e
−t W 2 (μ 0 , γ).
Démonstration. Soit (X 0 , X
0 ) un couplage des lois μ 0 et μ
0 indépendant du
mouvement brownien (B t ) t0 . On construit deux processus (X t ) t0 et (X
t ) t0
issus respectivement de X 0 et X
0 et dirigés par le même mouvement brownien
B. On dit que les processus sont couplés. On a alors
X t − X
t = X 0 − X
0 −
t
0
(X s − X
s ) ds.
On en déduit que
|X t − X
t |
2 = e
−2t
|X 0 − X
0 |
2 .
Par définition de W 2 (μ t , μ
t ), on obtient
W 2 (μ t , μ
t )
2
e
−2t
E
|X 0 − X
0 |
2
.
Reste à prendre l’infimum sur tous les couplages de μ 0 et μ
0 .
337
=
log
σ 2
σ 1
−
(x − m 1 )
2
2σ 2
1
+
(x − m 2 )
2
2σ 2
2
μ 1 (dx)
= log
σ 2
σ 1
−
1
2
+
σ
2
1 + m
2
1 − 2m 1 m 2 + m
2
2
2σ 2
2
= log
훀
σ 2
σ 1
+
σ
2
1 − σ
2
2 + (m 1 − m 2 )
2
2σ 2
2
.
Puisque le processus d’Ornstein-Uhlenbeck est gaussien, le théorème précédent fournit une expression explicite de la distance entre les deux lois
au temps t issues de deux lois gaussiennes différentes. Plus précisément,
pour tous x 1 , x 2 et t 0, on obtient, en utilisant le théorème 25.14 avec
μ 1 = N t (·)(x 1 ) = N (x 1 e
−t , 1 − e
−2t ) et μ 2 = N t (·)(x 2 ) = N (x 2 e
−t , 1 − e
−2t ),
W 2 (N t (·)(x 1 ), N t (·)(x 2 ))
2 = e
−2t (x 1 − x 2 )
2
t→∞
0
et
Ent(N t (·)(x 1 ), N t (·)(x 2 )) =
e
−2t (x 1 − x 2 )
2
2(1 − e −2t )
t→∞
0.
Ces résultats s’étendent à des lois initiales plus générales. Le cas de la distance
de Wasserstein est simple, celui de l’entropie fait l’objet de la section suivante.
Théorème 25.15 (Convergence en distance de Wasserstein). Si μ 0 et μ
0 sont
deux mesures de probabilité de moment d’ordre 2 fini, et si μ t (resp. μ
t ) est la
loi de X t (resp. X
t ) lorsque X 0 ∼ μ 0 (resp. X
0 ∼ μ
0 ), alors pour tout t 0,
W 2 (μ t , μ
t ) e
−t W 2 (μ 0 , μ
0 ).
En particulier, si μ
0 = γ alors pour tout t 0,
W 2 (μ t , γ) e
−t W 2 (μ 0 , γ).
Démonstration. Soit (X 0 , X
0 ) un couplage des lois μ 0 et μ
0 indépendant du
mouvement brownien (B t ) t0 . On construit deux processus (X t ) t0 et (X
t ) t0
issus respectivement de X 0 et X
0 et dirigés par le même mouvement brownien
B. On dit que les processus sont couplés. On a alors
X t − X
t = X 0 − X
0 −
t
0
(X s − X
s ) ds.
On en déduit que
|X t − X
t |
2 = e
−2t
|X 0 − X
0 |
2 .
Par définition de W 2 (μ t , μ
t ), on obtient
W 2 (μ t , μ
t )
2
e
−2t
E
|X 0 − X
0 |
2
.
Reste à prendre l’infimum sur tous les couplages de μ 0 et μ
0 .