334
25 Processus d’Ornstein-Uhlenbeck
On dit qu’une mesure de probabilité μ sur R vérifie une inégalité de Poincaré de constante c > 0 si, pour toute fonction f : R → R de classe C
1 à
support compact,
Var μ (f ) :=
f
2 dμ −
f dμ
2
c
f
2 dμ.
La constante c optimale est la plus petite constante possible. Notons que
Var μ (f ) = f − E μ (f )
2
L 2 (μ) .
Corollaire 25.13 (Inégalité de Poincaré). La mesure gaussienne γ satisfait
une inégalité de Poincaré de constante optimale 1 : pour toute fonction f de
R dans R de classe C
1 à support compact,
Var γ (f )
f
2 dγ.
Démonstration. Pour tout t 0, on a
α(t) := Var γ (N t f ) = N t f − γ(f )
2
L 2 (γ) =
(N t f )
2 dγ −
f dγ
2
,
où la seconde égalité s’obtient par invariance. Du théorème 25.10 on a l’inégalité α(t) e
−2t α(0). Le théorème 25.5 (symétrie et réversibilité) donne
α
(t) =
2N t fA t N t f dγ = −2
(N t f )
2 dγ.
La fonction t ∈ R + → e
−2t α(0) − α(t) est positive et nulle en zéro. Sa dérivée
à droite en zéro est donc positive :
0
d
dt
t=0
(e
−2t α(0) − α(t))
= −2α(0) − 2
f
2 dγ
= −2Var γ (f ) − 2
f
2 dγ.
L’inégalité de Poincaré de constante 1 est donc établie. L’optimalité de la
constante peut se vérifier sur la fonction propre f (x) = H 1 (x) = x. Notons que
réciproquement, on peut obtenir la convergence exponentielle α(t) e
−2t α(0)
du théorème 25.10 à partir de cette inégalité de Poincaré, en écrivant
α
(t) = −2
(N t f )
2 dγ −2Var(N t ) = −2α(t).
Donnons enfin une preuve alternative de l’inégalité de Poincaré. Soit t 0
et f régulière. On définit la fonction β sur [0, t] en posant