25.3 Entropie, couplage, et temps long
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β(s) = N s (Ψ (N t−s f )) où Ψ (x) = x
2 .
Dans la suite, on notera g = N t−s f . Remarquons que
β(t) − β(0) = N t (Ψ (f )) − Ψ (N t f ) = Var Nt(·) (f ).
D’autre part, grâce au théorème 25.4, on a, par un calcul,
β
(s) = N s (A(Ψ (g)) − AgΨ
(g)).
Or un calcul direct montre que
A(Ψ (g)) − AgΨ
(g) = Ψ
(g)g
2 = 2g
2 .
On a donc
β
(s) = 2N s
(N t−s f )
2
.
Par la formule de Mehler, le semi-groupe vérifie la relation de commutation
(N t f )
= e
−t N t (f
),
qui fournit l’expression suivante pour β
(s) :
β
(s) = 2e
−2(t−s) N s
(N t−s (f
2 )
.
L’inégalité de Jensen (ou de Cauchy-Schwarz) assure que
(N t |f
|)
2
N t
f
2
.
Ainsi, on obtient, grâce à la relation de semi-groupe, la majoration suivante
β
(s) 2e
−2(t−s) N t
f
2
.
Une intégration entre 0 et t assure que, pour tout t 0 et tout x ∈ R,
la mesure de probabilité N t (·)(x) = N (xe
−t , 1 − e
−2t ) vérifie une inégalité
de Poincaré de constante (1 − e
−2t )/2. Pour conclure, on remarque que si ν
vérifie une inégalité de Poincaré de constante c alors la mesure image de ν par
x → ax + b vérifie une inégalité de Poincaré de constante a
2 c.
25.3 Entropie, couplage, et temps long
On souhaite à présent étudier la convergence de la loi de X t vers sa loi
invariante quand t → +∞ en termes d’entropie relative et de distance de
Wasserstein. Soit μ 1 et μ 2 deux mesures de probabilité sur R. L’entropie
relative de μ 1 par rapport à μ 2 est définie par
2
2. En physique Ent(μ | γ) est une énergie libre si μ et γ sont des mesures de Gibbs.