25.2 Décomposition spectrale et inégalité de Poincaré
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Le théorème 25.9 permet d’obtenir la décomposition de N t f sur la base
hilbertienne des polynômes d’Hermite à partir de celle de f , et fournit en
particulier une estimation pour la convergence de N t (f ) vers une fonction
constante dans L
2 (γ).
Théorème 25.10 (Décomposition spectrale et convergence dans L
2 (γ)).
Pour tout f ∈ L
2 (γ), si
f =
n0
a n H n
=
fH n dγ avec
훀
n
n!a
2
n < +∞,
alors, pour tout t 0,
N t f =
n0
e
−nt a n H n .
De plus, pour tout f ∈ L
2 (γ), la convergence exponentielle suivante a lieu :
N t f − γ(f ) L 2 (γ) e
−t
f − γ(f ) L 2 (γ) où γ(f ) =
f dγ.
Démonstration. La première partie découle du théorème 25.9. Pour la seconde
partie, on remarque tout d’abord que H 0 (x) = 1. Ensuite, pour tout t 0,
puisque γ est la mesure invariante de (N t ) t0 ,
a 0 =
f dγ =
N t f dγ.
Ainsi, pour tout t 0,
N t f − γ(f )
2
L 2 (γ) =
(N t f − a 0 )
2 dγ =
n1
a
2
n e
−2nt n!
e
−2t
n1
a
2
n n! = e
−2t
f − γ(f )
2
L 2 (γ) .
Remarque 25.11 (Mind the gap!). Le taux de convergence exponentiel (égal
à 1) du théorème 25.10 correspond à l’écart entre les deux premières valeurs
propres de A, à savoir 0 et −1. Cette propriété se généralise à tous les processus de Markov réversibles dont le générateur infinitésimal possède la propriété
dite de trou spectral : 0 est valeur propre simple et isolée du reste du spectre.
Remarque 25.12 (Lois de conservation et vitesse de convergence). Le semigroupe préserve la décomposition spectrale. Si f ⊥ Vect{H 1 , . . . , H k−1 } dans
L
2 (γ) alors N t (f ) ⊥ Vect{H 1 , . . . , H k−1 } pour tout t 0 et
N t f − γ(f ) L 2 (γ) e
−kt
f − γ(f ) L 2 (γ) où γ(f ) =
f dγ.
n!a n
où