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25 Processus d’Ornstein-Uhlenbeck
H
n (x) = nH n−1 (x),
et l’équation différentielle
H
n (x) − xH
n (x) + nH n (x) = 0.
L’équation de récurrence et le fait que H 0 = 1 et H 1 (x) = x font que le
coefficient du terme de plus haut degré de H n vaut 1, pour tout n 0.
Les polynômes d’Hermite sont orthogonaux pour la loi gaussienne standard
γ, et diagonalisent les opérateurs N t et A du processus d’Ornstein-Uhlenbeck.
Théorème 25.9 (Polynômes d’Hermite et processus d’Ornstein-Uhlenbeck).
La suite (H n /
√
n!) n0 est une base hilbertienne de L
2 (γ). De plus pour tout
entier n 0 et tout réel t 0, le polynôme H n est vecteur propre de N t
(respectivement de A) associé à la valeur propre e
−nt (respectivement −n).
Démonstration. Soit s, t ∈ R fixés. Appliquons N t à la fonction x → G(s, x) :
N t (G(s, ·))(x) = exp(se
−t x − s
2 /2)E[exp(sσ t Y )]
où Y suit la loi γ. La transformée de Laplace de Y vaut
E(exp(λY )) = exp
1
2
λ
2
donc
N t (G(s, ·))(x) = G(se
−t , x).
Par définition des polynômes d’Hermite, on obtient
N t (H n )(x) = N t (∂
n
1 G(0, ·))(x) = ∂
n
s N t (G(s, ·))(x) |s=0
= ∂
n
s G(se
−t , x) |s=0 = e
−nt ∂
n
1 G(se
−t , x) |s=0 = e
−nt H n (x).
Le polynôme d’Hermite H n est donc vecteur propre de N t , de valeur propre
e
−nt . En appliquant le théorème 25.4 à la fonction H n , on obtient que H n
est vecteur propre de A associé à la valeur propre −n. La symétrie de N t par
rapport à γ assure que, pour tous entiers m et n et tout t > 0,
e
−mt
H m H n dγ =
N t (H m )H n dγ =
H m N t (H n ) dγ = e
−nt
H m H n dγ.
En particulier, H n et H m sont orthogonaux dans L
2 (γ) dès que n = m. Pour
voir enfin que (H n /
√
n!) n0 est bien une base orthonormée de L
2 (γ), on peut
utiliser la formule de Plancherel
∞
n=0
s
2n
n! 2 H n
2
L 2 (γ) =
G(s, x)
2 γ(dx) = exp(−s
2 )
e
2sx γ(dx)
= exp(s
2 ) =
∞
n=0
s
2n
n!
,
qui donne la valeur de H n
2
L 2 (γ) = n! en identifiant les deux séries.
25 Processus d’Ornstein-Uhlenbeck
H
n (x) = nH n−1 (x),
et l’équation différentielle
H
n (x) − xH
n (x) + nH n (x) = 0.
L’équation de récurrence et le fait que H 0 = 1 et H 1 (x) = x font que le
coefficient du terme de plus haut degré de H n vaut 1, pour tout n 0.
Les polynômes d’Hermite sont orthogonaux pour la loi gaussienne standard
γ, et diagonalisent les opérateurs N t et A du processus d’Ornstein-Uhlenbeck.
Théorème 25.9 (Polynômes d’Hermite et processus d’Ornstein-Uhlenbeck).
La suite (H n /
√
n!) n0 est une base hilbertienne de L
2 (γ). De plus pour tout
entier n 0 et tout réel t 0, le polynôme H n est vecteur propre de N t
(respectivement de A) associé à la valeur propre e
−nt (respectivement −n).
Démonstration. Soit s, t ∈ R fixés. Appliquons N t à la fonction x → G(s, x) :
N t (G(s, ·))(x) = exp(se
−t x − s
2 /2)E[exp(sσ t Y )]
où Y suit la loi γ. La transformée de Laplace de Y vaut
E(exp(λY )) = exp
1
2
λ
2
donc
N t (G(s, ·))(x) = G(se
−t , x).
Par définition des polynômes d’Hermite, on obtient
N t (H n )(x) = N t (∂
n
1 G(0, ·))(x) = ∂
n
s N t (G(s, ·))(x) |s=0
= ∂
n
s G(se
−t , x) |s=0 = e
−nt ∂
n
1 G(se
−t , x) |s=0 = e
−nt H n (x).
Le polynôme d’Hermite H n est donc vecteur propre de N t , de valeur propre
e
−nt . En appliquant le théorème 25.4 à la fonction H n , on obtient que H n
est vecteur propre de A associé à la valeur propre −n. La symétrie de N t par
rapport à γ assure que, pour tous entiers m et n et tout t > 0,
e
−mt
H m H n dγ =
N t (H m )H n dγ =
H m N t (H n ) dγ = e
−nt
H m H n dγ.
En particulier, H n et H m sont orthogonaux dans L
2 (γ) dès que n = m. Pour
voir enfin que (H n /
√
n!) n0 est bien une base orthonormée de L
2 (γ), on peut
utiliser la formule de Plancherel
∞
n=0
s
2n
n! 2 H n
2
L 2 (γ) =
G(s, x)
2 γ(dx) = exp(−s
2 )
e
2sx γ(dx)
= exp(s
2 ) =
∞
n=0
s
2n
n!
,
qui donne la valeur de H n
2
L 2 (γ) = n! en identifiant les deux séries.