25.2 Décomposition spectrale et inégalité de Poincaré
331
=
g(x)N t (v 0 )(x)γ(dx).
Par définition v t = N t (v 0 ). Par définition de N t , t → N t (v 0 )(x) est de classe
C
∞ (même si v 0 ne l’est pas). On conclut grâce au théorème 25.4.
Remarque 25.8 (ÉDP de Fokker-Planck). On peut montrer par un changement de variables que la densité u t de la loi de X t par rapport à la mesure de
Lebesgue est solution de l’équation aux dérivées partielles suivante
∂ t u t (x) = ∂
2
xx u t (x) + ∂ x (xu t (x)).
Cette équation aux dérivées partielles est parfois appelée équation de FokkerPlanck. Elle exprime l’évolution temporelle d’une densité spatiale, tout comme
l’équation d’Euler en mécanique des fluides, et l’équation de Boltzmann en
théorie cinétique des gaz.
25.2 Décomposition spectrale et inégalité de Poincaré
On étudie dans cette section l’action du semi-groupe (N t ) t0 sur les polynômes. Les polynômes forment un sous-espace dense de L
2 (γ). En effet, soit
f ∈ L
2 (γ). La transformée de Laplace de la mesure signée ν(dx) = f (x)γ(dx)
est finie sur R puisque, pour λ ∈ R, on a
e
λx ν(dx)
2
f
2 dγ
e
2λx γ(dx) < +∞.
La transformée de Laplace de ν est donc en particulier analytique au voisinage
de 0. Si f est orthogonale à tous les polynômes, toutes les dérivées de cette
transformée sont nulles en 0 et par suite elle est également nulle. Ceci implique
que f est nulle γ-p.s. On peut donc trouver une base hilbertienne de L
2 (γ)
formée de polynômes. On lira avec profit le théorème 21.7.
Les polynômes d’Hermite (H n ) n0 sont définis par leur série génératrice :
G(s, x) = e
sx−
1
2 s
2 =
∞
n=0
s
n
n!
H n (x),
c’est-à-dire H n (x) = ∂
n
1 G(0, x). On a
H 0 (x) = 1, H 1 (x) = x, H 2 (x) = x
2
− 1, etc.
Ils vérifient l’équation de récurrence à trois termes
H n+1 (x) = xH n (x) − nH n−1 (x),
l’équation de récurrence différentielle