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25 Processus d’Ornstein-Uhlenbeck
Démonstration. Par définition du semi-groupe d’Ornstein-Uhlenbeck,
fN t g dγ = E
f (X)g
e
−t X + σ t Y
,
où X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi γ. Le couple
(X, e
−t X + σ t Y ) est un vecteur gaussien centré de matrice de covariance
1 e
−t
e
−t 1
.
On peut donc échanger les rôles de f et g dans l’identité précédente, ce qui
assure que N t est auto-adjoint dans L
2 (γ). Enfin, une intégration par parties
fournit la formule du théorème.
Remarque 25.6 (Simulation). Le processus d’Ornstein-Uhlenbeck a des accroissements gaussiens indépendants (non stationnaires). La simulation des
trajectoires est particulièrement simple. Soit (t n ) n0 une suite strictement
croissante de réels positifs avec t 0 := 0. Le processus à temps discret (X tn ) n1
a la même loi que le processus autorégressif (Z n ) n0 défini par Z 0 = X 0 et
Z tn+1 = e
−(tn+1−tn) Z tn +
1 − e −2(tn+1−tn) ε n
pour tout n 1, où (ε n ) n0 sont des v.a.r. i.i.d. de loi N (0, 1), indépendantes
de Z 0 . Ce processus est une chaîne de Markov à temps discret d’espace d’état
R, et de loi invariante N (0, 1). Cette observation fournit une manière de simuler les trajectoires du processus d’Ornstein-Uhlenbeck, illustrée par la figure
25.1. Conditionnellement à Z 0 , le vecteur aléatoire (Z 1 , . . . , Z n ) est gaussien,
et la décomposition de Cholesky de sa matrice de covariance fournit une autre
manière efficace de simuler la trajectoire du processus.
Les propriétés ci-dessus permettent de voir que la loi de X t est absolument
continue avec une densité régulière dès que t > 0, quel que soit X 0 .
Théorème 25.7 (Équation d’évolution de la densité de la loi). Soit ν t la loi
de X t . Quelle que soit ν 0 , pour tout t > 0, la loi ν t admet une densité de
classe C
∞ par rapport à la mesure de Lebesgue. De plus, si ν 0 est absolument
continue de densité v 0 par rapport à la mesure γ alors ν t l’est aussi et sa
densité v t par rapport à γ est solution de l’équation aux dérivées partielles
∂ t v t (x) = Av t (x).
Démonstration. Si g est une fonction régulière, la propriété de symétrie de N t
donne
Eg(X t ) =
E(g(X t )|X 0 = x)v 0 (x)γ(dx)
=
N t g(x)v 0 (x)γ(dx)
25 Processus d’Ornstein-Uhlenbeck
Démonstration. Par définition du semi-groupe d’Ornstein-Uhlenbeck,
fN t g dγ = E
f (X)g
e
−t X + σ t Y
,
où X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi γ. Le couple
(X, e
−t X + σ t Y ) est un vecteur gaussien centré de matrice de covariance
1 e
−t
e
−t 1
.
On peut donc échanger les rôles de f et g dans l’identité précédente, ce qui
assure que N t est auto-adjoint dans L
2 (γ). Enfin, une intégration par parties
fournit la formule du théorème.
Remarque 25.6 (Simulation). Le processus d’Ornstein-Uhlenbeck a des accroissements gaussiens indépendants (non stationnaires). La simulation des
trajectoires est particulièrement simple. Soit (t n ) n0 une suite strictement
croissante de réels positifs avec t 0 := 0. Le processus à temps discret (X tn ) n1
a la même loi que le processus autorégressif (Z n ) n0 défini par Z 0 = X 0 et
Z tn+1 = e
−(tn+1−tn) Z tn +
1 − e −2(tn+1−tn) ε n
pour tout n 1, où (ε n ) n0 sont des v.a.r. i.i.d. de loi N (0, 1), indépendantes
de Z 0 . Ce processus est une chaîne de Markov à temps discret d’espace d’état
R, et de loi invariante N (0, 1). Cette observation fournit une manière de simuler les trajectoires du processus d’Ornstein-Uhlenbeck, illustrée par la figure
25.1. Conditionnellement à Z 0 , le vecteur aléatoire (Z 1 , . . . , Z n ) est gaussien,
et la décomposition de Cholesky de sa matrice de covariance fournit une autre
manière efficace de simuler la trajectoire du processus.
Les propriétés ci-dessus permettent de voir que la loi de X t est absolument
continue avec une densité régulière dès que t > 0, quel que soit X 0 .
Théorème 25.7 (Équation d’évolution de la densité de la loi). Soit ν t la loi
de X t . Quelle que soit ν 0 , pour tout t > 0, la loi ν t admet une densité de
classe C
∞ par rapport à la mesure de Lebesgue. De plus, si ν 0 est absolument
continue de densité v 0 par rapport à la mesure γ alors ν t l’est aussi et sa
densité v t par rapport à γ est solution de l’équation aux dérivées partielles
∂ t v t (x) = Av t (x).
Démonstration. Si g est une fonction régulière, la propriété de symétrie de N t
donne
Eg(X t ) =
E(g(X t )|X 0 = x)v 0 (x)γ(dx)
=
N t g(x)v 0 (x)γ(dx)