25.1 Premières propriétés
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N t f (x) = f (x) + (e
−t
− 1)xf
(x) +
1
2
(e
−t
− 1)
2 x
2 + σ
2
t
횿
f
(x) + O(t
3/2 ).
On a donc bien la limite annoncée :
lim
t→0
1
t
(N t f (x) − f (x)) = f
(x) − xf
(x).
Ce résultat s’obtient aussi avec la formule d’Itô : si X 0 = x et t 0, alors
f (X t ) = f (x) +
t
0
Af (X s ) ds +
√
2
t
0
f
(X s ) dB s ,
et comme l’intégrale stochastique est une martingale, l’espérance donne
N t f (x) = f (x) +
t
0
N s (Af )(x) ds.
Il reste à utiliser que N s (Af )(x) → Af (x) quand s → 0 pour obtenir la première propriété du théorème. La seconde se déduit de la première en utilisant
la propriété de semi-groupe.
D’après la formule de Mehler, pour tout x ∈ R et f ∈ A,
N t f (x) −→
t→∞
fdγ.
De plus, grâce à la formule de Mehler, pour tous t 0 et f ∈ A,
N t f dγ =
f (xe
−t +
1 − e −2t y) γ(dy) γ(dx) =
f dγ.
Autrement dit, la variable aléatoire X t a la même loi que
X 0 e
−t +
1 − e −2t Z
où Z ∼ N(0, 1) est une variable aléatoire indépendante de X 0 , et donc si
X 0 ∼ γ alors X t et X 0 ont même loi N (0, 1), et pour tous t 0 et f ∈ A,
N t f dγ = E[(N t f )(X 0 )] = E(f (X t )) = E(f (X 0 )) =
f dγ.
La mesure γ est donc la loi invariante du processus d’Ornstein-Uhlenbeck. Le
résultat suivant va plus loin que l’invariance.
Théorème 25.5 (Symétrie et réversibilité). Les opérateurs (N t ) t0 et A sont
auto-adjoints dans L
2 (γ). En particulier, pour toutes fonctions f, g ∈ A,
Af g dγ =
fAg dγ = −
f
g
d γ.
La loi invariante γ est réversible : si X 0 suit la loi γ, alors pour tout T 0,
le processus renversé (X T −t ) t∈[0,T ] a la même loi que (X t ) t∈[0,T ] .