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25 Processus d’Ornstein-Uhlenbeck
2. pour tous s, t 0 et f ∈ A, (N s ◦ N t )(f ) = N t+s f .
Démonstration. Le premier point est évident. Pour le second, notons σ t =
√
1 − e −2t . Soient X et Y deux v.a.r. indépendantes de loi γ. Par définition
de N t ,
(N s ◦ N t )(f )(x) = E
N t (f )(e
−s x + σ s X)
= E
f (e
−t (e
−s x + σ s X) + σ t Y )
= E
f (e
−s−t x + e
−t σ s X + σ t Y )
.
Il ne reste plus qu’à observer que
e
−t σ s X + σ t Y ∼ N (0, σ
2
s+t )
et à utiliser la formule de Mehler.
Examinons à présent l’évolution infinitésimale, sur un temps très court.
Théorème 25.4 (Générateur infinitésimal). Pour tout f ∈ A et tout x ∈ R,
lim
t→0 +
N t f (x) − N 0 f (x)
t
= (Af )(x) où (Af )(x) = f
(x) − xf
(x).
Plus généralement, pour tout f ∈ A et tout t 0, les équations aux dérivées
partielles suivantes ont lieu :
∂ t N t f = A(N t f ) = N t (Af ).
Cette équation aux dérivées partielles (ÉDP) est parfois appelée équation
de la chaleur avec dérive. L’opérateur A est le générateur infinitésimal du
semi-groupe d’Ornstein-Uhlenbeck. Il est important de penser à la formule
formelle N t = e
tA , qui fait apparaître que N 0 = I et ∂ t N t = AN t .
Démonstration. Si f ∈ A, alors la formule de Taylor à l’ordre 2 avec reste
borné au voisinage de x donne
f (x + h) = f (x) + hf
(x) +
h
2
2
f
(x) + O(h
3 ).
Remarquons dans un premier temps, que pour h = (e
−t
− 1)x + σ t y, on a
h γ(dy) = (e
−t
− 1)x,
h
2 γ(dy) = (e
−t
− 1)
2 x
2 + σ
2
t ,
|h|
3 γ(dy) = O(t
3/2 ).
Le développement limité ci-dessus assure que