25.1 Premières propriétés
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Soit A l’ensemble des fonctions de classe C
∞ sur R dont toutes les dérivées
sont à croissance lente
1 . Le semi-groupe d’Ornstein-Uhlenbeck sur R est la
famille (N t ) t∈R+ d’opérateurs de A dans A définis pour tous t 0, f ∈ A par
N t (f )(x) = E(f (X t ) | X 0 = x).
Ce qui précède donne la formule de Mehler : pour tout t 0 et tout f ∈ A,
N t (f )(x) =
R
f
e
−t x +
1 − e −2t y
γ(dy),
où γ désigne la mesure gaussienne standard sur R. Cette formule montre que
N t (f )(x) est bien défini pour tout x ∈ R et tout f ∈ L
1 (N (xe
−t , 1 − e
−2t )).
0
200
400
600
800
1000
1200
-5
0
5
10
15
20
25
Fig. 25.1. Échantillon de trajectoires du processus d’Ornstein-Uhlenbeck partant
du même point initial éloigné de l’origine. La dérive l’emporte sur la diffusion au
départ, et ramène rapidement puis maintient la trajectoire près de l’origine, où la
diffusion provoque des fluctuations. En temps grand la loi invariante s’impose.
Théorème 25.3 (Propriété de semi-goupe). La famille (N t ) t0 vérifie les
propriétés suivantes :
1. pour toute fonction f ∈ A, N 0 f = f ,
1. Une fonction f : R → R est à croissance lente si |f | P pour un polynôme P .