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25 Processus d’Ornstein-Uhlenbeck
25.1 Premières propriétés
Théorème 25.1 (Changement d’échelle). Soit λ > 0 et σ > 0. Si X est un
processus d’Ornstein-Uhlenbeck alors le processus Y défini par
Y t =
σ
√
2λ
X λt
est solution de l’équation différentielle stochastique
Y t = Y 0 − λ
t
0
Y s ds + σW t
où (W t ) t0 est un mouvement brownien standard.
Démonstration. Pour tout t 0, en notant W t = B λt /
√
λ,
σ
√
2λ
X λt =
σ
√
2λ
X 0 −
λt
0
σ
√
2λ
X s ds +
σ
√
λ
B λt
= Y 0 − λ
t
0
Y s ds + σW t ,
et (W t ) t0 est un mouvement brownien standard (invariance d’échelle).
Théorème 25.2 (Processus gaussien). Si X 0 = x, alors
X t ∼ N (xe
−t , 1 − e
−2t ).
Plus généralement, le processus (X t ) t0 est un processus gaussien de covariance donnée pour tous 0 s t par
Cov(X s , X t ) = (1 − e
−2s )e
−(t−s) .
Cette propriété vient en fait de la linéarité de l’équation différentielle stochastique satisfaite par (X t ) t0 .
Démonstration. La formule d’Itô appliquée au processus (e
t X t ) t0 avec X 0 =
x donne
X t = xe
−t +
√
2
t
0
e
s−t dB s .
On en déduit que X t ∼ N (xe
−t , 1 − e
−2t ). Pour calculer la covariance de X s
et X t , on écrit de même que
X t = X s e
−(t−s) + Y t
où Y t est une variable aléatoire centrée indépendante de X s .